《3.1.2指数函数》教学案

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1、《分数指数幂》教学案教学目标1．知识与技能(1)理解根式、分数指数幂的概念；(2)掌握分数指数幂和根式之间的互化；(2)掌握分数指数幂的运算性质．2．过程与方法(1)通过与初中所学的知识(平方根、立方根)进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质．(2)通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念和指数幂的性质．3．情感、态度与价值观(1)培养学生观察、分析、抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；(2)通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；(3)让学生体验数学的简洁美和统一美．教学重点、难点重点：根式、分数指数幂的概念及运算性质．难点：运用分数指数幂运

2、算性质化简求值．教学过程1．关于分数指数幂概念的引入的教学建议教师由初中学习的，入手引入．2．分数指数、无理数指数是指数概念的又一次扩充，也是学生学习的重点所在．建议教师在教学中要让学生反复理解有理数指数幂的意义，分数指数不同于因式的乘积，而是根式的一种新写法，教学中可以通过根式和分数指数的互化来巩固加深对这一概念的理解．关于负分数指数幂和有理数指数幂的意义可以在正分数指数幂的基础上引导学生自己得出．对于无理数指数幂的理解是个难点，可以充分借助科学计算器等计算工具初步理解无限趋近这一重要数学思想．3．正分数指数幂、负分数指数幂以及根式定义(1)必须抓好定义中的底数a>0，并解

3、释清楚a为什么必须大于0，并不是所有的a<0都无意义，不要使学生进入一个误区，误认为a<0时以上定义均无意义．(2)根式的概念是教学的难点，在教材的基础上，可以再举几个实例加深理解，n次方根的性质实质是平方根、立方根性质的推广，教学时可以以平方根、立方根为基础加以说明．(3)使学生明确三个概念之间的联系，分数指数幂与根式只是形式不同，它们之间是可以互化的，a－＝＝(a>0，m，n均为正整数)．(4)关于有理数指数幂的运算性质的教学建议教师先复习幂的推广过程，同时要强调限制条件的变化，建议让学生用自己的语言叙述指数运算的三条性质．课标解读1.理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式

4、与分数指数幂的互化(重点)．2．掌握有理指数幂的运算法则(重点)．3．了解实数指数幂的意义.【问题导思】　1．4的平方根是什么？8的立方根是什么？【提示】　±2，22．我们知道x2＝a，那么x叫做a的平方根，试想x3＝a，x4＝a，x5＝a…，x如何定义？【提示】　x分别叫做a的立方根，四次方根、五次方根…3．因(±2)4＝16，则±2都是16的四次方根吗？16的平方根是多少？正数偶次方根都是两个吗？【提示】　是，±4，是．4．一个数的奇次方根有几个？【提示】　一个．1．n次实数方根一般地，如果一个实数x满足xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根．需要注意的

5、是，0的n次实数方根等于0.2．根式的定义式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．【问题导思】　1．计算和(a>0)．【提示】　＝＝a2＝a；＝＝a2＝a.2．根据a－n＝，计算m－.【提示】　m－＝.一般地，我们规定(1)a＝(a>0，m，n均为正整数)．(2)a－＝(a>0，m，n均为正整数)．(3)0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．【问题导思】　1．计算33×3－5和33＋(－5)，它们之间有什么关系？【提示】　33×3－5＝，33＋(－5)＝，相等．2．计算(22)和22×，它们之间有什么关系？【提示】　(22)＝4＝2，22×＝21，相等．有理

6、数指数幂的运算性质(1)asat＝as＋t，(2)(as)t＝ast，(3)(ab)t＝atbt，其中s，t∈Q，a>0，b>0.例1　求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4).【思路探究】　根据根式的定义，注意偶次根式与奇次根式的不同，用根式的性质解题．【自主解答】　(1)＝－3；(2)＝＝；(3)＝；(4)＝

7、a－b

8、＝方法规律1．求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个．2．根式运算中，经常会遇到开方与乘方并存情况，应注意两者运算顺序是否可换，如对仅当a≥0时，恒有＝()n，若a<0，则不一定．3．根式的性质，n为奇数时＝a，n为偶数时，＝

9、a

10、＝变式训练计算下列各

11、式的值(1)＝________；(2)＝________；(3)＝________；(4)(m>n)＝________.【解析】　＝－8；＝＝10；＝

12、3－π

13、＝π－3；＝m－n.【答案】　(1)－8　(2)10　(3)π－3　(4)m－n例2　将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)；(2)()－(b>0)；(3)(a>0)．【思路探究】　各小题中均含有根式，可将根式化为分数指数幂形式，根据分数指数幂的运算性质求解．【自主解答】　(1)原式＝＝＝＝＝＝x－.(2)原式＝[(b－)]－＝b－××(－)＝b