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《概率论与数理统计第三讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、概率论与数理统计条件概率（2）独立性1全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B
2、A)P(A)>0一、全概率公式2例1有三个箱子，分别编号为1、2、3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3白球，3号箱装有3个红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记Bi={球取自i号箱},i=1,2,3;A={取得红球}即A=B1A+B2A+B3A，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同
3、时发生，P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)运用加法公式得123且B1A、B2A、B3A两两互斥3将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)代入数据计算得：P(A)=8/154也称满足上述条件的B1,B2,…,Bn为完备事件组.定义设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事件.若则称B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分.5全概率公式:设试验E的样本空间为S，A为E的事件，
4、B1,B2,…,Bn为S的一个划分，且有P(Bi)>0，i=1,2,…,n,则在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算.6某一事件A的发生有各种可能的原因，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，则A发生的概率是每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.或理解为：全概率公式应用演示实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”7有三个箱子，分别编号为1、2、3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红
5、球3个白球，3号箱装有3个红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白?二、贝叶斯公式8某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.记Bi={球取自i号箱},i=1,2,3;A={取得红球}求P(B1
6、A)运用全概率公式计算P(A)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?9该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式：设试验E的样本空间为S，A为
7、E的事件，B1,B2,…,Bn为S的一个划分，且P(A)>0，P(Bi)>0，（i=1,2,…,n）,则10例2某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.已知P(C)=0.005,P()=0.995,P(A
8、C)=0.95,P(A
9、)=0.04解:设C={抽查的人患有癌症}，A={试验结果是阳性}，求P(C
10、A).11现在来分析一下结果的意义.由贝
11、叶斯公式，可得代入数据计算得:P(C｜A)=0.10662.检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？12如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率P(C)=0.005患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为P(C｜A)=0.1066说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？132.检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性,此人确患癌症的概
12、率为P(C｜A)=0.1066即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.14贝叶斯公式在贝叶斯公式中，P(Bi)和P(Bi
13、A)分别称为原因的验前概率和验后概率.P(Bi)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件A是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi
14、A)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。15在不
15、了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.甲乙丙P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情细节后,这个估计就有了变化.P(B1
16、A)知道A发生后P(B2
17、A)P(B3
18、A)最大偏小16例3由于随机干扰，在无线电通讯中发出信
