统计物理小结new

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1、统计物理：分布律和配分函数：系统的分布律有三种：费米系统：费米系统要求粒子具有全反对称性：全反对称性要求任意两个粒子不能处于相同的量子态。假设共有个粒子，并且任意的能级上的粒子数可以用表示，每一个能级的简并度是。对于任意一个能级，可能的排列方式为：因此所有的微观状态数为：等几率假设：假设系统分布的出现的概率和所对应的所有微观状态数成正比。最可取方法：假设粒子分布在最可取分布上的概率远远大于其他的概率。利用最可取方法，可以求出此时费米子系统的分布函数：其中为系统的化学势，并且这里。波色系统：波色系统要求粒子具有全对

2、称性：假设共有个粒子，并且任意的能级上的粒子数可以用表示，每一个能级的简并度是。对于任意一个能级，可能的排列方式为：因此所有的微观状态数为：同样根据等几率假设和最可取方法可以求出此时的分布律为：半经典分布：假设系统此时的大部分量子态上的平均粒子数远远小于1，即简并度非常大同时粒子数目是有限的。那么这两种分布就可以过渡成同一个形式：量子统计总共有三种分布。半经典分布配分函数和宏观量：沟通系统的宏观量和微观量的关键就是系统的配分函数。定义配分函数为：其中的y表示的是外参量。现在推导配分函数和宏观量的关系：由此可以得出

3、配分函数和宏观量之间的关系。波尔兹曼关系：对于计算系统的熵，还可以使用波尔兹曼关系：这个关系式有非常重要的物理意义：熵的微观意义是表征系统微观状态数目大小的参量。由上面的表达式可以知道系统的微观数目越多，系统的熵越大。半经典近似：如果粒子的微观简并度不容易求取，可以利用半经典近似来求取此时的简并度。如果粒子之间的能级差别远远小于热学能级，即因此可以将此时的粒子能量认为是连续的，这就是准经典近似。因此此时的能级简并度就可以利用概率密度来表达：此时粒子的配分函数就可以写为：准经典近似用于计算理想气体或者是类似理想气体

4、的经典气体非常有效果。现在利用准经典近似来讨论理想气体的行为：一般情况下的理想气体均满足准经典近似，并且几乎理想气体的所有性质都可以通过半经典分布求出。考虑理想气体单原子分子，单个原子的能量可以写为：其中的的表达式为：由此可以求出此时的概率密度为：并且求出配分函数为：因此可以求出宏观量为：注意到自由能的表达式：因此系统的熵值可以直接由自由能求得：因此可以不必记配分函数和熵的关系。考虑理想气体双原子分子，此时单个分子的能量为：即分子能量由平动能量和分子内部能量组成。内部能量将会在下面进一步讨论。但是总可以把内部能量

5、的配分函数写出来：注意到此时内部运动和气体的体积没有关系。因此可以求出系统的内能为：可见双原子分子理想气体的内能依然仅仅和温度有关，并且理想气体的状态方程并不发生改变。这里对理想气体的状态方程做了统计说明：其方程的形式和分子内部运动无关，仅仅和理想气体的基本假设有关。现在进一步讨论理想气体的热容量。热容量和气体的内能的表达式有关，因此讨论这个问题的时候必须假设双原子分子理想气体的内能由平动能量、振动能量、转动能量和电子绕核的能量组成。即其中平动能量带来的热容很容易计算：注意到理想气体的平动动能都是一样的数值。理想

6、气体的振动可以利用量子力学的谐振子来描述。利用折合质量可以写出振动的哈密顿量为：这里不再使用准经典近似，而是直接利用量子力学的知识来计算。谐振子是非简并的，并且其能级可以写为：因此可以知道此时的配分函数为：因此可以求出此时振动对于内能的贡献为：进而可以求出此时的振动热容为：其中现在考虑转动能级，转子的能量表达式为：并且转子的简并度为：同理可以求出此时的配分函数为：为了简便讨论，定义转动特征温度：因此可以知道此时的转动配分函数为：实验上可以确定一般气体的特征温度远远小于室温。在高温情况下，可以将上面的求和转换为积分

7、：因此可以求出转动动能对总能量的贡献为：在低温情况下，配分函数会迅速衰减，因此可以简化为：因此利用相同的方法可以求得：电子绕核的转动这里忽略不计，因此利用准经典近似可以求出理想气体的热容为：固体的热容量固体中的原子均可以认为是在平衡位置附近做振动。如果以表示固体中的一个分子偏离平衡位置的位移，那么固体的中原子的动能为：如果固体中有个原子，那么上面的求和应该是由。而此时的固体的位能为：假如在温度不是很高的情况下，就可以对上面固体的位能进行简谐近似：因此可以求出此时的固体的内能为：利用分析力学的原理，可以假设使用简正

8、坐标将上面的坐标表示成为没有交叉项的能量表达式：其中的坐标变换为：并且为广义坐标的广义动量。而要计算这个体系的能量，必须知道固体的振动频率。爱因斯坦假设此时所有的原子振动的频率相同，那么此时的就和理想气体的振动热容相同。此时的单个原子的能量为：因此此时的配分函数为：因此可以求出此时的振动能量为：由此可以求出此时系统的热容量为：其中的变量为：在此考虑一个非常重要的物理量，它