统计物理小结

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1、统计物理：分布律和配分函数：系统的分布律有三种：费米系统：费米系统要求粒子具有全反对称性：vP（x1,x2）=-vP（x2,x1）全反对称性耍求任意两个粒子不能处丁相同的量子态。假设共有N个粒子，并且任意的能级上的粒子数可以用®表示，每一个能级的简并度是&。对于任意一个能级®,可能的排列方式为:W{®}_£（%+£-1）!_仇+£-1）!%!g「!®!（g,T）!因此所有的微观状态数为：等儿率假设：假设系统分布仏｝的出现的概率和机｝所对应的所有微观状态数成正比。最可取方法：假设粒子分布在最可取分

2、布上的概率远远大于其他的概率。利用最可取方法，可以求出此吋费米子系统的分布函数：鸣二（爲「，心123,…exp（a+〃£j—l其中&为系统的化学势，并且这里0冷。波色系统：波色系统要求粒子具有全对称性：屮（西，兀2）=屮（兀2'西）假设共有N个粒子，并且任意的能级上的粒子数可以用®表示，每一个能级的简并度是&。对于任意一个能级耳，可能的排列方式为:因此所有的微观状态数为:同样根据等几率假设和最可取方法可以求出此吋的分布律为:exp(a+0£)+l半经典分布：假设系统此时的大部分量子态上的平均粒子

3、数远远小于1，即简并度非常人同时粒子数目是有限的。那么这两种分布就可以过渡成同一个形式：%=giexp(-o-0爲),i=1,2,3,…量了统计总共有三种分布。半经典分布配分函数和宏观量：沟通系统的宏观量和微观量的关键就是系统的配分函数。定义配分函数为：貞0』）=工£旳（-0岂）i其中的y表示的是外参量。现在推导配分函数和宏观量的关系：E=-N皿„Ndz__NdzP=nX=<0wP彷;I邮丿F=-NkTz由此可以得出配分函数和宏观量Z间的关系。波尔兹曼关系：对于计算系统的爛，还可以使

4、用波尔兹曼关系：S=kW这个关系式有非常重要的物理意义：炳的微观意义是表征系统微观状态数目大小的参量。由上面的表达式可以知道系统的微观数目越多，系统的炳越大。半经典近似:如果粒了的微观简并度不容易求取，可以利用半经典近似來求取此时的简并度。如果粒了Z间的能级并别远远小于热学能级，即A®kT因此可以将此时的粒了能量认为是连续的，这就是准经典近似。因此此时的能级简并度就可以利用概率密度來表达:g/=>g(g)dg二打…Jde此时粒了的配分函数就可以写为：z(0,V)=Rxp(-0£Jg(£)必=

5、*Jexp(-朋佃))伽准经典近似用于计算理想气体或者是类似理想气体的经典气体非常有效果。现在利用准经典近似来讨论理想气体的行为:一般情况下的理想气体均满足准经典近似，并II几乎理想气体的所有性质都叮以通过半经典分布求出。单个原子的能量可以写为:21232m考虑理想气体单原子分子，其屮的“V的表达式为:0,insideco,outsiderti此可以求出此时的概率密度为：t'dp’dx严普工dp.并冃求出配分函数为:expPiPiI2m因此可以求出宏观量为:E=-N=—NkT602NainzNk

6、TS=NkInz-0F=-NkT注意到自rti能的表达式：F=U-TS^>dF=-pdV-SdT因此系统的炳值可以直接由自由能求得：ar因此可以不必记配分函数和爛的关系。考虑理想气体双原子分子，此吋单个分子的能量为：即分子能量由平动能量久和分子内部能量®组成。内部能量将会在下面进一步讨论。但是总可以把内部能量的配分函数写出來：'=F冋(-朋(x,P))如如注意到此吋内部运动和气体的体积没有关系。因此可以求出系统的内能为：60260NdzNkT.厂乔厂〒可见双原子分子理想气体的内能依然仅仅

7、和温度有关，并且理想气体的状态方程并不发生改变。这里对理想气体的状态方程做了统计说明：其方程的形式和分子内部运动无关，仅仅和理想气体的基本假设有关。现在进-步讨论理想气体的热容量。热容量和气体的内能的表达式有关，因此讨论这个问题的吋候必须假设双原子分子理想气体的内能由平动能量、振动能量、转动能量和电子绕核的能量组成。即其中平动能量带来的热容很容易计算：cm=^=-NkmST2注意到理想气体的平动动能都是一样的数值。理想气体的振动可以利用量子力学的谐振子来描述。利用折合质量可以写出振动的哈密顿量为

8、：H-—+—ptarx12“2这里不再使用准经典近似，而是直接利用量子力学的知识来计算。谐振子是非简并的，并且其能级可以写为：(\L)因此可以知道此吋的配分函数为：(1)exp——/3TicoS=工exp(-0刍)=y°T1-exp(-0血)因此可以求出此吋振动对于内能的贡献为：dz方e——4-、heoexp（力°0）-1丿进而可以求出此时的振动热容为:SE（）8TNkx2ex（exp（兀）-1『其中ticox=—现在考虑转动能级，kT转子的能量衣达式为：>26二為(/+1)，心0,1,