3.2函数模型及其应用1

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1、3.2.1几类不同增长的函数模型（1）一、实例分析投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快.（底数a>0）例1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？问1：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？问2：

2、根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？问3：你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描述一下三个方案的特点吗？问4：由以上的分析，你认为应当如何做出选择？分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出

3、选择，就要对它们的增长情况进行分析.我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况（表3-4）。x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.2x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元6406012.87400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………

4、3040030010214748364.8107374182.4再作出三个函数的图象（图3.2-1）。由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多

5、，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：天数回报/元方案123456一4080120160200240二103060100150210三0.41.22.8612.425.2天数回报/元方案7891011一280320360400400二280360450550660三50.8102204.4409.2818.8因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11

6、天（含11天）以上，则应选择方案三.例2.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？问1：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例2的

7、解答吗？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间[10，1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图象（图3.2-2）200400600800100012354687Oxyy=0.25xy=5y=log7x+1

8、y=1.002x观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始