中学数学研究-北140101孪生素数猜想

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1、资料编号15722素数刘建亚发表在北140101上属于教法、辅导、数论题为《孪生素数猜想》数论又名高等算术，是研究整数性质的学问.然而数论并不简单.高斯说:“数学是科学的女王，而数论是数学的王冠1素数与孪生素数猜想数学建立在数系的基础上；整数是非常基本的，然而有一类比整数更基本的数，即是素数.设是一个大于1的整数，若p只有1与p两个因子，则称p为素数.也就是说，素数不能分解为两个都小于它的因子之积.素数的序列是：2,3,5,7,11，I3,17,….素数之所以重要，是因为任何大于1的整数都可以分解为素数的乘积，而且这个

2、乘积具有唯一性.这个结论被称为算术基本定理.因此，素数表之于数学，正如《化学元素周期表》之于化学.素数如此重要，但是素数的分布似乎没什么规律.如果查看数轴，很难预测哪个大整数是素数.实际上，似乎不可能发现素数出现的任何具体规律，也就是说，我们还没有办法写一个通项公式，使其每项都产生素数.古希腊人已经知道，素数有无穷多，其证明发表于欧几里得的《几何原本》.任意取一个大整数々，一定可以在数轴上找到长度为々的区间，在此区间内没有素数.也就是说，相邻素数之差可能大于任何事先给定的正数.另一方面，除了2之外，其他的素数都是奇数，

3、它们之间的最小可能的间隔是2.若一对素数之差是2,则称它们为一对孪生素数；比如3与5,5与7,11与13,等等.孪生素数初看起来貌似很多，但是不难发现它们越来越稀疏，且没有规律.一个自然而古老的猜测断言，存在无穷多对孪生素数.这就是所谓的孪生素数猜想.2高斯猜想与黎曼猜想我们可以在数轴上取一个很大的x，这个x可以趋向于无穷大，然后研究x前面有多少个素数，即不超过X的素数的个数.记不超过X的素数的个数为p(x)，我们关心p(x)和x之间的关系.从欧几里得知道，当x趋于无穷大时，p(x)也趋于无穷大.1792年，高斯进一步

4、猜测，p(x)大约是x/logx：，而且X越大这个近似越精确，这里的log是自然对数.高斯猜想给出了，当x增大的时候，不超过z的素数个数的增加速度.这个猜想指出，素数在不早过的整数集合中密度是l/logx；因此当X趋1于无穷大时，这个密度趋于零.为了证明高斯的这个猜想，黎曼提出并发展了zeta函数理论.他在1859年作了一个演讲，题为《论不超过一个给定值的素数的个数》.在演讲中，他定义了zeta函数，证明了这个函数有无穷多个非显然零点.根据代数基本定理，一个多项式零点的个数等于其次数；而zeta函数有无穷多个零点，因此

5、肯定是一个超越函数.黎曼证明，这无穷多个非显然零点都落在实部介于0与1之间的竖直带形之内，而且关于带形的竖直中轴线对称.但黎曼不能排除零点落在带形边界上的可能性.到此，人们不禁会问，研究;r(:c)貌似一件数手指头的事情，但黎曼没数手指头，而是定义了一个zeta函数，还证明了它有无穷多个零点，黎曼这是在研究高斯猜想吗？事实上，黎曼还证明了，如果带形的边界上没有zeta函数的零点，高斯猜想就正确！这是非常令人震惊的.实际上，可以认为这是数学史上关于数学内在联系的最深刻的结果之一.黎曼自己没来得及给出证明就去世了，但他提供

6、了研究高斯猜想的正确方法，即用分析方法去研究数论——这就是解析数论.沿着黎曼指明的方向，在高斯猜想提出一百余年之后，阿达玛（J.Hadamard)与德.拉.瓦雷普桑(C.dekValleePoussin)分别给出了高斯猜想证明.自此.高斯猜想被称为素数定理.在那个著名的演讲中，黎曼还提出了-个猜想：zeta函数所有非显然零点只能落在带形的竖直中轴线上.这个猜想的提出，既有美学的原因，也有科学依据.首先,黎曼肯定相信高斯猜想是正确的.要想证明髙斯猜想正确，带形边界上就不应该有零点.既然零点越靠边界其作用就越坏，那么，肯定

7、零点越靠近中轴线越好.而且黎曼知道零点是关于中轴线对称的，若所有零点都落在中轴线上，当然自己和自己对称，世界将何其完美！然而，任何一个猜想，不管在美学上是多么完美，如果没有一定的事实来支持，也是不可信的.黎曼手算了三个零点，结果都落在中轴线上.黎曼猜想等价于素数定理具有最佳可能的余项.黎曼猜想到现在还没有得到证明.到现在为止，利用计算机演算出来的非显然零点，都落在中轴线上.这肯定让迷信计算机的人非常沮丧.2000年，美国克雷数学研究所公布了7个千禧数学问题，黎曼猜想名列其中.早在1900年，希尔伯特(D.Hilbert

8、)列出23个数学问题，其中第8问题中便有黎曼猜想，还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想.3与哥德巴赫猜想平行的孪生素数猜想上个世纪六十、七十年代，哥德巴赫猜想的研究如火如荼，中国数学家王元、潘承洞、陈景润先后做出了举世瞩目的贡献.此段历史，随徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》而家喻户晓，在此不必再叙.被简称为（1+2)的陈景润定理，实际上