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时间:2019-05-06
《2018版高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教a版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、四渐开线与摆线一、基础达标1.已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数),则此渐开线对应的基圆的周长是( )A.πB.2πC.3πD.4π解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,所以基圆的周长为2π,故选B.答案 B2.已知一个圆的参数方程为(θ为参数),那么圆的摆线方程中与参数φ=对应的点A与点B之间的距离为( )A.-1B.C.D.解析 根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,那么它的摆线的参数方程为(φ为参数),把φ=代入参数方程中可得即A,∴
2、AB
3、==.答案 C3.摆线(t为参数,0≤t<2π)与直线y=2的交
4、点的直角坐标是( )A.(π-2,2),(3π+2,2)B.(π-3,2),(3π+3,2)C.(π,2),(-π,2)D.(2π-2,2),(2π+2,2)解析 由2=2(1-cost)得cost=0.∵t∈[0,2π),∴t1=,t2=.代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π-2,2),(3π+2,2).答案 A4.已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数),则此渐开线对应的基圆的直径是________,当参数θ=时对应的曲线上的点的坐标为________.解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.把θ=
5、代入曲线的参数方程,得x=+,y=-,由此可得对应的坐标为.答案 2 5.已知圆的方程为x2+y2=4,点P为其渐开线上一点,对应的参数φ=,则点P的坐标为________.解析 由题意,圆的半径r=2,其渐开线的参数方程为(φ为参数).当φ=时,x=π,y=2,故点P的坐标为P(π,2).答案 (π,2)6.给出直径为6的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.解 以圆的圆心为原点,一条半径所在的直线为x轴,建立直角坐标系.又圆的直径为6,所以半径为3,所以圆的渐开线的参数方程是(φ为参数).以圆周上的某一定点为原点,以定直线为x轴,建立
6、直角坐标系,所以摆线的参数方程为(φ为参数).7.已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和,求A、B两点的距离.解 根据条件可知圆的半径是1,所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数),分别把φ=和φ=代入,可得A、B两点的坐标分别为A,B.那么,根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为
7、AB
8、==.即A、B两点之间的距离为.二、能力提升8.如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其中、、、…的圆心依次按B、C、D、A循环,它们依次相连接,则曲线AEFGH的长是( )A.3πB
9、.4πC.5πD.6π解析 根据渐开线的定义可知,是半径为1的圆周长,长度为,继续旋转可得是半径为2的圆周长,长度为π;是半径为3的圆周长,长度为;是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.答案 C9.已知一个圆的平摆线方程是(φ为参数),求该圆的周长,并写出平摆线上最高点的坐标.解 由平摆线方程知,圆的半径为2,则圆的周长为4π.当φ=π时,y有最大值4,平摆线具有周期性,周期为2π.∴平摆线上最高点的坐标为(π+2kπ,4)(k∈Z).10.渐开线方程为(φ为参数)的基圆的圆心在原点,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C,求
10、曲线C的方程,及焦点坐标.解 由渐开线方程可知基圆的半径为6,则圆的方程为x2+y2=36.把横坐标伸长到原来的2倍,得到椭圆方程+y2=36,即+=1,对应的焦点坐标为(6,0)和(-6,0).11.如图,若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上),当车轮滚动时,点Q的轨迹称为变幅平摆线,取
11、AQ
12、=或
13、AQ
14、=,请推出Q的轨迹的参数方程.解 设Q(x,y)、P(x0,y0),若A(rθ,r),则当
15、AQ
16、=时,有代入∴点Q的轨迹的参数方程为(θ为参数).当AQ=时,有代入∴点Q的轨迹方程为(θ为参数).三、探究与创新12.已知一个参数方程是如果把
17、t当成参数,它表示的图形是直线l(设斜率存在),如果把α当成参数(t>0),它表示半径为t的圆.(1)请写出直线和圆的普通方程;(2)如果把圆平移到圆心在(0,t),求出圆对应的摆线的参数方程.解 (1)如果把t看成参数,可得直线的普通方程为:y-2=tanα(x-2),即y=xtanα-2tanα+2,如果把α看成参数且t>0时,它表示半径为t的圆,其普通方程为(x-2)2+(y-2)2=t2.(2)由于圆的圆心在(0,t),圆的半径为t,所以对应的摆线的参数方程为(φ为参数).
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