2.4函数的奇偶性.

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1、函数的奇偶性高三备课组1．定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数。如果函数是奇函数或偶函数，则称函数y=具有奇偶性。知识点2.性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，④偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，⑤奇函数在有意义，则⑤若函数f(x)的定义域关

2、于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和⑥奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]⑦对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数3．奇偶性的判断一.定义法：①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系二.图象法：作出图象，看是否关于原点对称（书）例1．判断下列函数的奇偶性③④二．应用举例例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(

3、x)·f(y)且f(0)≠0①求证：f(0)=1②求证：y=f(x)是偶函数练：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。从定义出发解题例3．已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x2+2x-1①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。练：已知函数是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。从性质和图形出发解题(书例1)变式一：已知函数是偶函数，在是单调减函数,则BCD练习：已知f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在上为减函数，若，求实数a

4、的取值范围。(书）例4．函数f(x)是定义在上的函数，且f(x)满足对任意,有①求f(1)的值②判断f(x)的奇偶性并证明，③若且f(x)在上为增函数,求x的取值范围综合应用：与单调性、不等式联系备例例5．f(x)是定义在上的奇函数，且f(x)在上的单调递减①判断f(x)在上的单调性，并用定义证明，②若a>0且a≠1，有求x的取值范围。三．小结１．定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数的必要不充分条件；２．y=f(x)是奇（偶）函数y=f(x)的图象关于原点（y轴）对称３．F(x)=f[g(x)]的奇偶性４．若函数f(x)的定义域关于原点对称，则５．函数奇偶性的判断与应用。四．作业:优化设计