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1、第二章多元正态分布§2.1定义回顾：X~N(m,s2)，线性变换不变性：X~N(0,1)Y=sX+m~N(m,s2)定义2.1设x=(x1x2…xn)'，x1,x2,…,xnN(0,1)，A∈Rm×n，m∈Rm，则称服从元正态分布，记y~Nm(m,AA')，从而x~Nn(0,I)。定理2.1设y~Nm(m,AA')，则其特征函数为证明：记V=AA'≥0，y~Nm(m,V)。定理2.2设y~Nm(m,V)，V>0，则y的密度函数为证明：由V=AA'>0知
2、A
3、≠0（比如取），又由x1,x2,…,xmN(0,1)知其联合密度函数为令y=Ax+mx=A-1(y-m)，则
4、若
5、V
6、=0，rank(V)=r0，则一般若rank(V)=r≤m，则存在使A(y-m)~Nr(0,Ir)。定理2.4y~Nm(m,V)a'y~N(a'm,a'Va)，a∈Rm。证明：“”是定理2.3的推论。“”令t=1有多元正态分布的三个等价定义：①线性函数构造（定义
7、）②特征函数（定理2.1）③线性组合（定理2.4）定理2.5（边缘分布）设则。证明：在定理2.3中取即得。即多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，但反之不然。例如由二维联合密度函数可求得边缘分布xi~N(0,1),i=1,2，但显然～/N§2.2矩定义2.2设x=(x1x2…xn)'为n维随机向量，定义其均值（期望）向量为Ex=(Ex1Ex2…Exn)'定义其协方差矩阵为D(x)=E{(x-Ex)(x-Ex)'}=(vij)n×n,vij=cov(xi, xj)定义相关矩阵为.定义与的协方差阵为cov(x, y)=E[(x-Ex)(y-Ey)']结论随机向量的期望与
8、协方差阵有下面性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）x与y相互独立x与y不相关证明：（4）（7）x与y独立xi与yi独立（特别）定理2.6设y~Nm(m,V)则证明：例2.1设，分析其密度函数及图形。解：y的特征函数记，，故密度函数f(y1,y2)的等高线为作变换-------------------------------------------------------------------------4§2.3条件分布与独立性设定理2.7设y~Nm(m,V),V>0则y1
9、y2~Nm(m1.2,V11.2)其中m1.2=m1+V12V22-1(y2
10、-m2),V11.2=V11-V12V22-1V21。证明：由V>0V11.2>0,V22>0,将z=By代入并注意到=
11、B
12、=1得z1-b=y1-V12V22-1y2-(m1-V12V22-1m2)=y1-[m1+V12V22-1(y2-m2)]=y1-m1.2故条件密度函数例2.2当m=2,r=1时，m1=m1，m2=m2，V11=s12，V22=s22，V12=V21=s1s2r，m1.2=m1+r(y2-m2)，V11.2=s12-s1s2rs2-2s1s2r=s12(1-r2)即y1
13、y2~N(m1+r(y2-m2),s12(1-r2))。注意到V11-
14、V11.2=V12V22-1V21≥0V11≥V11.2，说明条件协差阵“变小”，V11=V11.2V12=V'21=Oy1与y2独立。定义2.3y1对y2的回归系数：V12V22-1=(bij.r+1,…,m)r×(m-r)；y2给定时y1条件协方差阵：V11.2=(uij.r+1,…,m)r×r；y2给定时yi与yj的偏相关系数：rij.r+1,…,m=。例2.3人体测量：y1~身高，y2~胸围，y3~腰围，y4~上体长，y5~臀围*条件分布的逆推公式设则(y1
15、y2,y3)~Nr(m1.3+V12.3V22.3-1(y2-m2.3),V11.3-V12.3V
16、22.3-1V21.3)其中mi.3=mi+Vi3V33-1(y3-m3),i=1,2,Vij.k=Vij-VikVkk-1Vkj,i,j,k=1,2,3因为定理2.8y1与y2独立V12=V'21=O。证明：y1与y2独立jy(t1,t2)=jy1(t1)jy2(t2)V12=V'21=O。一般，设，则y1,…,yk相互独立y1,…,yk互不相关推论1设x~Nn(0,In)，y=Ax+m，z=Bx+g，则y与z独立⇔AB'=O。证明：故y与z独立⇔AB'=(BA')'=O。一般，若x~Nn(m,V)，则y与z独立⇔AVB'=O。推论2y2与y1-V12V22-1
17、y2独立；
