北京市西城区2011年高三一模试卷数学（理科）

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1、北京市西城区2011年高三一模试卷数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，，则等于A.B.C.D.2.下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是A.B.C.D.3.设，，，则A.B.C.D.4.设向量，，且，则等于A.B.C.D.5.阅读右侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A.B.C.D.6.已知函数①，②，则下列结论正确的是A.两个函数的图象均关于点成中心对称B.两个函数的图象均关于直线成中心对

2、称C.两个函数在区间上都是单调递增函数D.两个函数的最小正周期相同7.已知曲线及两点和，其中。过，分别作轴的垂线，交曲线于，两点，直线与轴交于点，那么A.成等差数列B.成等比数列C.成等差数列D.成等比数列8.如图，四面体的三条棱两两垂直，，，为四面体外一点。给出下列命题。10①不存在点，使四面体有三个面是直角三角形②不存在点，使四面体是正三棱锥③存在点，使与垂直并且相等④存在无数个点，使点在四面体的外接球面上其中真命题的序号是A.①②B.②③C.③D.③④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共

3、30分。9.在复平面内，复数对应的点到原点的距离为_____。10.如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆心到的距离为，则圆的半径为_____。11.已知椭圆经过点，则______，离心率______。12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____。13.某展室有9个展台，现有件展品需要展出，要求每件展品独自占用个展台，并且件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种。

4、14.已知数列的各项均为正整数，对于，有当时，______；若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为______。10三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）设中的内角，，所对的边长分别为，，，且，。（Ⅰ）当时，求角的度数；（Ⅱ）求面积的最大值。16.（本小题满分13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为。且他们是否破译出密码互不影响。若三人中只有甲破译出密码的概率为。（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人

5、破译出密码的概率；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望。17.（本小题满分13分）如图，是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为。（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论。18.（本小题满分14分）已知函数，其中。（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；（Ⅲ）设，求在区间上的最大值。（其中为自然对数的底数）19.（本小题满分14分）已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正

6、半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限。（Ⅰ）求证：以线段为直径的圆与轴相切；（Ⅱ）若，，，求的取值范围。20.（本小题满分13分）定义为有限项数列10的波动强度。（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）若数列满足，求证：；（Ⅲ）设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列。10【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678答案CBADBCAD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.10.11.，12

7、.13.，14.；或注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分。三、解答题：本大题共6小题，共80分。若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分。15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以。……………2分因为，，由正弦定理可得。…………4分因为，所以是锐角，所以。…………………6分（Ⅱ）因为的面积，……………7分所以当最大时，的面积最大。因为，所以。………………9分因为，所以，………………11分所以，（当时等号成立）………………12分所以面积的最大值为。…………………13分16.（

8、本小题满分13分）解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有且相互独立。（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为。………………3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有＝，………………5分所以，。…………………7分（Ⅲ）的所有可能取值为。………………8分所以，10，，=＝。…………………11分的分布列为：…………………12分所以，。…………………13分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为平面，所以。……………………2分因为是正方形，