西城区2012年高三一模试卷理科.doc

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1、北京市西城区2012年高三一模试卷数学（理科）2012.4第Ⅰ卷（选择题共40分）8．已知集合，其中，且.则中所有元素之和等于（）（A）（B）（C）（D）14.在直角坐标系中，动点， 分别在射线和上运动，且△的面积为．则点，的横坐标之积为_____；△周长的最小值是_____．18.（本小题满分13分）已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存

2、在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，…，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．（Ⅰ）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件；（Ⅲ）证明：一定能经过有限次“变换”后结束．北京市西城区2012年高三一模试卷数学（理科）参考答案及评分标准2012.48.D.14.，.18.（本

3、小题满分13分）（Ⅰ）解：当时，，．………………2分由于，，所以曲线在点处的切线方程是．………………4分（Ⅱ）解：，．………………6分①当时，令，解得．的单调递减区间为；单调递增区间为，．……………8分当时，令，解得，或．②当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．………………10分③当时，为常值函数，不存在单调区间．………………11分④当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由，得.………………2分依题意△是等腰直角三角形，从而，故.………………4分所以椭圆的方程

4、是.………………5分（Ⅱ）解：设，，直线的方程为.将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得.………………7分所以，.………………8分若平分，则直线，的倾斜角互补，所以.………………9分设，则有.将，代入上式，整理得，所以.………………12分将，代入上式，整理得.………………13分由于上式对任意实数都成立，所以.综上，存在定点，使平分.………………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列不能结束，各数列依次为；；；；；；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形．………………2分数列能结束，各数列依次为；；；．……………

5、…3分（Ⅱ）解：经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．………………4分若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束．……………5分当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”．当时，数列．由数列为常数列得，解得，从而数列也为常数列．其它情形同理，得证．在数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列．………………8分所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，

6、其中”．证明：记数列中最大项为，则．令，，其中．因为，所以，故，证毕．………………9分现将数列分为两类．第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，．第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时．下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列．不妨令数列的第一项为，第二项最大()．（其它情形同理）①当数列中只有一项为时，若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若，则；此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若()，则，此数列各项均不

7、为，为第一类数列；若，则；；，此数列各项均不为，为第一类数列．②当数列中有两项为时，若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；若()，则，，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列．③当数列中有三项为时，只能是，则，，，此数列各项均不为，为第一类数列．总之，第二类数列至多经过次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“变换”后，数列的最大项一定会为，此时数列的各项均为，从而结束．………………13分