利用导数证明不等式50题(学生版)

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1、实用标准文案利用导数证明不等式1．（本小题满分12分）已知函数（）．(1)讨论的单调性；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围（为自然常数）；(3)求证（，）．2．（本小题满分10分）（1）设，试比较与的大小；（2）是否存在常数，使得对任意大于的自然数都成立？若存在，试求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．3．（本小题满分14分）已知函数（其中，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．(Ⅰ)当时，求函数的极值；(Ⅱ)若恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅲ)求证：对任意正整数n，都有．4．（本小题满分14分）已知函数，，其中，是自然对数的底数．函数，．（Ⅰ）求的

2、最小值；（Ⅱ）将的全部零点按照从小到大的顺序排成数列，求证：（1），其中；（2）．5．（本小题满分12分）已知函数.（1）若函数满足,且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；文档实用标准文案（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；（3）当时，试比较与的大小.6．已知．（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数解,求实数的取值范围；（3）当,时,求证：．7．已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；（3）证明:对任意的正整数,不等式…都成立.8．已知函数（）（1）讨论函数的单调性；（2）

3、若函数在处取得极值，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明不等式.9．已知函数.（1）证明：；（2）证明：.10．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2(f′(x)是f(x)的导数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；(3)求证：×…×<(n≥2，n∈N*)．11．已知函数(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求文档实用标准文案的值；(2)求证函数在上为单调增函数

4、；(3)设，，且，求证：．12．设函数的定义域是,其中常数.(1)若,求的过原点的切线方程.(2)当时,求最大实数,使不等式对恒成立.(3)证明当时,对任何,有.13．函数.（1）令，求的解析式；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：.14．已知．（1）若存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）若,求证：当时，恒成立；（3）利用（2）的结论证明：若，则.15．设函数f(x)＝lnx＋x2－(a＋1)x(a>0，a为常数)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a＝1，证明：当x>1时，f(x)

5、2）若函数有两个不同的零点；（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求证：且.（注：为自然对数的底数）文档实用标准文案17．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意x＞0，都有f′(x)＞．（Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；（Ⅱ）设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．18．已知函数，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）若函数对任意满足，求证：当时，；（Ⅲ）若，且，求证：19．已知函数（1）当时，试讨论函数的单调性；（2）证明：对任意的，

6、有.20．已知函数(是常数)在处的切线方程为，且.（Ⅰ）求常数的值；（Ⅱ）若函数()在区间内不是单调函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明:.21．已知函数（且）.（1）当时，求证:在上单调递增；（2）当且时,求证:.22．已知函数，，（）．（1）求函数的极值；（2）已知，函数，，判断并证明文档实用标准文案的单调性；（3）设，试比较与，并加以证明．23．已知，，（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；（3）求证：．24．已知函数的最小值为0，其中。（1）求a的值（2）若对任意的，

7、有成立，求实数k的最小值（3）证明25．已知函数，（1）求函数的单调递增区间；（2）若不等式在区间（0,+上恒成立，求的取值范围；（3）求证：26．（本题满分14分）已知函数()，.（Ⅰ）当时，解关于的不等式：；（Ⅱ）当时，记，过点是否存在函数图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由；（Ⅲ）若是使恒成立的最小值，对任意，试比较与的大小(常数).27．（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；文档实用标准文案（Ⅱ）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．（Ⅲ）求证：（其中，e是自然对数的底数）．28．（