2018_2019学年高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程2直线的极坐标方程讲义（含解析）

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1、2．直线的极坐标方程1．直线的极坐标方程(1)若直线经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．(2)当直线l过极点，即ρ0＝0时，l的方程为θ＝α.(3)当直线l过点M(a,0)且垂直于极轴时，l的方程为ρcos_θ＝a.(4)当直线l过点M且平行于极轴时，l的方程为.2．图形的对称性(1)若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称．(2)若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝所在直线对称．(3)若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，

2、则图形关于极点对称．求直线的极坐标方程[例1]　求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程．[思路点拨]　思路一：通过运用正弦定理解三角形建立动点M所满足的等式，从而集中条件建立以ρ，θ为未知数的极坐标方程；思路二：先求出直线的直角坐标方程，然后运用直角坐标向极坐标的转化公式间接得解．[解]　法一：设M(ρ，θ)为直线上除点A以外的任意一点，易知∠xAM＝，则∠OAM＝，∠OMA＝－θ.在△OAM中，由正弦定理得＝，即＝，∴ρsin＝，∴ρ＝，化简得ρ(cosθ－sinθ)＝1，经检验，点A(1,0

3、)的极坐标适合此方程，∴满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1.法二：以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系xOy，∵直线的斜率k＝tan＝1，∴直线方程为y＝x－1，将y＝ρsinθ，x＝ρcosθ代入上式，得ρsinθ＝ρcosθ－1，∴满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1.求直线的极坐标方程，首先应明确过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α的直线极坐标方程的求法．另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方

4、程．1．求过A且垂直于极轴的直线l的方程．解：如图所示，在直线l上任意取点M(ρ，θ)，∵A，∴

5、OH

6、＝2sin＝.在Rt△OMH中，

7、OH

8、＝

9、OM

10、cosθ，∴＝ρcosθ，即ρcosθ＝，∴过A且垂直于极轴的直线l的方程为ρcosθ＝.2．设点A的极坐标为，直线l过点A且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程．解：设P(ρ，θ)为直线l上任意一点(如图)．则α＝－＝，β＝π－＝＋θ，在△OPA中，有＝，即ρsin＝1.直线的极坐标方程的应用[例2]　在极坐标系中，直线l的方程是ρsin＝1，求点

11、P到直线l的距离．[思路点拨]　将极坐标问题转化为直角坐标问题．[解]　点P的直角坐标为(，－1)．直线l：ρsin＝1可化为ρsinθcos－ρcosθsin＝1，即直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.∴点P(，－1)到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝＋1.故点P到直线l的距离为＋1.对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．3．在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴

12、的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为________．解析：由ρsin2θ＝cosθ⇒ρ2sin2θ＝ρcosθ⇒y2＝x，又由ρsinθ＝1⇒y＝1，联立⇒故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)．答案：(1,1)4．已知直线的极坐标方程为ρsin＝，则点A到这条直线的距离是________．解析：点A的直角坐标为(，－)．直线ρsin＝，即ρsinθcos＋ρcosθsin＝，其直角坐标方程为x＋y＝，即x＋y＝1.∴点A(，－)到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，故点

13、A到直线ρsin＝的距离为.答案：一、选择题1．极坐标方程cosθ＝(ρ≥0)表示的曲线是(　　)A．余弦曲线　　　　　　B．两条相交直线C．一条射线D．两条射线解析：选D　∵cosθ＝，∴θ＝±＋2kπ(k∈Z)．又∵ρ≥0，∴cosθ＝表示两条射线．2．已知点P的坐标为(2，π)，则过点P且垂直于极轴的直线方程是(　　)A．ρ＝1B．ρ＝cosθC．ρ＝－D．ρ＝解析：选C　由点P的坐标可知，过点P且垂直于极轴的直线的直角坐标方程为x＝－2，即ρcosθ＝－2.故选C.3．如果直线ρ＝与直线l关于极

14、轴对称，那么直线l的极坐标方程是(　　)A．ρ＝B．ρ＝C．ρ＝D．ρ＝解析：选A　由ρ＝知ρcosθ－2ρsinθ＝1，故ρcosθ＋2ρsinθ＝1，即ρ＝为所求．4．在极坐标系中，点到曲线ρcosθ－ρsinθ－1＝0上的点的最小距离等于(　　)A.B.C.D．2解析：选A　将极坐标化为直角坐标即为点(1,1)到直线x－y－1＝0的距离最小，即＝，故选A.二、填空题5．极坐标方程ρcos＝1的直角坐标方程是____________．解