2016年全国考研数学二真题

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1、2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（）（A）（B）（C）（D）2．下列曲线有渐近线的是（）（A）（B）（C）（D）3．设函数具有二阶导数，，则在上（）（A）当时，（B）当时，（C）当时，（D）当时，4．曲线上对应于的点处的曲率半径是（）（Ａ）（Ｂ）　　(Ｃ）　（Ｄ）5．设函数，若，则（）（Ａ）　　　（Ｂ）　　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）　6．设在平面有界闭区域D第17页共17页上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（）．（A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

2、（B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；（C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．7．行列式等于（）（A）（B）　　（C）（D）8．设是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的（）（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．．10．设为周期为4的可导奇函数，且，则．11．设是由方程确定的函数，则．12．曲线的极坐标方程为，则在点第17页共17页处的切线方程为．13．一根长为

3、1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标．14．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是．三、解答题15．（本题满分10分）求极限．16．（本题满分10分）第17页共17页已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值．17．（本题满分10分）设平面区域．计算18．（本题满分10分）第17页共17页设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．19．（本题满分10分）第17页共17页设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：（1）；（2）．20．（本题满分11分）设函数，定义函数列，，设是曲线，直线所围图形的面积．求极限．21．（本题满分11分）第17页共17页已知函数满足

4、，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积．22．（本题满分11分）设，E为三阶单位矩阵．（1）求方程组的一个基础解系；（2）求满足的所有矩阵．第17页共17页23．（本题满分11分）证明阶矩阵与相似．第17页共17页2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．，是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知所以的可能取值范围是，应该选（B）．2．对于，可知且，所以有斜渐近线应该选（C）3．【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然就是联接两点的直线方程．故当时，曲线是凹的，也就是，应该选（D）【详解2

5、】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凹的，从而，即，也就是，应该选（D）4．曲线在点处的曲率公式，曲率半径．本题中，所以，，第17页共17页对应于的点处，所以，曲率半径．应该选（C）5．注意（1），（2）．由于．所以可知，，．6．在平面有界闭区域D上连续，所以在D内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点，也就是，在这个点处，由条件，显然，显然不是极值点，当然也不是最值点，所以的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上．所以应该选（A）．7．【解】应该选（B）．8．【解】若向量线性无关，则第17页共17页（，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所

6、以向量，一定线性无关．而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（A）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．【解】．10．【解】当时，，由可知，即；为周期为4奇函数，故．11．【解】设，，当时，，，，所以．12．【解】先把曲线方程化为参数方程，于是在处，，，则在点处的切线方程为，即13．解】质心坐标．14．【解】由配方法可知第17页共17页由于负惯性指数为1，故必须要求，所以的取值范围是．三、解答题15．（本题满分10分）【解】16．（本题满分10分）解：把方程化为标准形式得到，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方

7、程通解为：，由得，即．令，得，且可知；当时，可解得，，函数取得极大值；当时，可解得，，函数取得极小值．17．（本题满分10分）【解】由对称性可得18．（本题满分10分）第17页共17页【解】设，则，;；由条件，可知这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：其中为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为．故非齐次方程通解为．将初始条件代入，可得．所以的表达式为．19．（本题满分10分）【解】（1）证明：因为，所以．即．（2）令，第17页共17页则