2019版高考数学复习专题九立体几何中的向量方法讲义理（普通生，含解析）

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1、重点增分专题九　立体几何中的向量方法[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2018线面角的正弦值的求解·T18(2)二面角、线面角的正弦值的求解·T20(2)二面角的正弦值的求解·T19(2)2017二面角的余弦值的求解·T18(2)二面角的余弦值的求解·T19(2)二面角的余弦值的求解·T19(2)2016二面角的余弦值的求解·T18(2)二面角的正弦值的求解·T19(2)线面角的正弦值的求解·T19(2)高考对此部分的命题较为稳定，一般为解答题，多出现在第18或19题的第二问的位置，考查利用空间向量求异面直线所成

2、的角、线面角或二面角，难度中等偏上．利用空间向量证明空间位置关系1.在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，D为C1C的中点，求证：B1D⊥平面ABD.证明：由题意知AB，BC，BB1两两垂直，故以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，C1(0,2,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，所以·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D

3、⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD.2.如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.证明：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2，0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F，＝，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝

4、(1,0,0)，＝(1,0,0)．(1)因为＝－，所以∥，即EF∥AB.又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.[解题方略]利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．(2)建立空间图形与空间向量之间

5、的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．(4)根据运算结果解释相关问题.利用空间向量求空间角增分考点·广度拓展[分点研究]题型一　计算异面直线所成的角[例1]　已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．[解]　法一：(基向量法)如图，取＝a，＝b，＝c，则由已知可得

6、a

7、＝2，

8、b

9、＝

10、c

11、＝1，且〈a，b〉＝120°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°

12、.所以a·b＝2×1×cos120°＝－1，a·c＝b·c＝0.因为＝c－a，＝b＋c，所以·＝(c－a)·(b＋c)＝c2＋c·b－a·b－a·c＝12＋0－(－1)－0＝2.又

13、

14、＝＝＝＝，

15、

16、＝＝＝＝，所以cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.法二：(坐标法)如图，在平面ABC内过点B作BD⊥AB，交AC于点D，则∠CBD＝30°.因为BB1⊥平面ABC，故以B为坐标原点，分别以射线BD，BA，BB1为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(0,2,0)，B1(0,0,

17、1)，C1(cos30°，－sin30°，1)，即C1.所以＝(0，－2,1)，＝.所以cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.[解题方略]　向量法求异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为θ，则cosθ＝，其中，a，b分别是直线a，b的方向向量．此方法解题的关键在于找出两异面直线的方向向量，求两个向量的数量积，而要求两向量的数量积，可以求两向量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示．两个向量的夹角范围是[0，π]，而两异面直线所成角的范围是，应注意加以区分．[注意]　两条异面直线所成角的范围是.当所作

18、或所求的角为钝角时，应取其补角作为两条异面直线所成的角．题型二　计算直线与平面所成的角[例2]　(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面P