三角形三条高线交于一点的六种证明方法

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1、--WORD格式--可编辑--专业资料--三角形三条高线交于一点的证明证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。已知：△ABC的两条高BE、CF相交于点O，第三条高AD交高BD于点Q，交高CF于点P。求证：P、Q、O三点重合证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--∴∠AEB=∠AFC=90°又∵∠BAE=∠CAF∴△ABE∽△ACF∴AB＝AE，ACAFAFEPOQBDC--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业

2、资料--即AB·AF=AC·AE又∵AD⊥BC∴△AEQ∽△ADC，△AFP∽△ADB∴AE＝AD，AF＝APADAQADAB即AC·AE=AD·AQ，AB·AF=AD·AP∵AB·AF=AC·AE，AC·AE=AD·AQ，AB·AF=AD·AP∴AD·AQ=AD·AP∴AQ=AP∵点Q、P都在线段AD上∴点Q、P重合∴AD与BE、AD与CF交于同一点∵两条不平行的直线只有一个交点∴BE与CF也交于此点∴点Q、P、O重合。--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--1--WORD格式--可编辑---精

3、品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。已知：△ABC的两条高AD、BE相交于点O，第三条高CF交高AB于点--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--F，连结CO交AB于点F。求证：CF⊥AB。证明:∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴A、B、D、E四点共圆AE--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--∴∠1＝∠ABEFO--WORD格式--可编辑---精品资料分享---

4、-WORD格式--可编辑--专业资料--同理∠2＝∠1∴∠2＝∠ABE123BDC∵∠ABE+∠BAC＝90°，∴∠2+∠BAC＝90°即CF⊥AB。注：证法一和证法二是证明共点线的常用方法。--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--2--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--证法三：证明两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。证明：如图6，以直线BC为x轴，高AD为y轴，建立直角坐标系，设A(0,a),B(b,0),C(c,0),

5、由两条直线垂直的条件kBE1c,kCF1bykACakABa--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--则三条高的直线方程分别为：AD：x0(1)BE：yc(xb)(2)aCF：yb(xc)(3)aAFEDBOCx--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--解（2）和（3）得c(xb)b(xc),(bc)x0aabc(b0,c0)∴x0这说明BE和CF得交点在AD上，所以三角形的三条高相交于一点。注：有时候考虑直角坐标系这一有力的数形结合工具可以有效地解

6、决问题。证法四：转化为证明另一个三角形的三条中垂线（或中线）交于一点。已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高。求证：AD、BE、CF相交于一点。证明：过点A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线ML、MN、NL∵AM∥BC，MB∥AC∴四边形AMBC是平行四边形∴AM＝BCAMLE同理，AL＝BCF∴AM＝ALBCD∵AD⊥ML∴AD是ML的垂直平分线N同理，BE、CF分别是MN、NL的垂直平分线而三角形的三条垂直平分线相交于一点--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--3--WORD格式--可编

7、辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--∴AD、BE、CF相交于一点。注：三角形的三条中线（可中垂线、角平分线）相交于一点，这事实学生容易理解，也不难证明，把证明三角形的三条垂线相交于一点的问题转化为另一三角形的三条中线（中垂线）相交于一点，这种化陌生为熟悉、化难为易的转化方--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--法必须让学生理解掌握。证法五：运用锡瓦（Ceva）定理证明。已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高。求证：AD、BE、CF相交于一点。证明：如图，∵AD⊥BC

8、于E，BE⊥AC于E∴△ABD∽△CBF∴BD＝AB（1）BFCBAFEOBDC--WORD格式--可编辑---精品资料分享----W