三角形三条高交于一点证明方法总结.doc

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1、三角形中三条高线交于一点的证明作者：吴丁盟年级组：八年级摘要：介绍三角形中垂心的概念，了解并学会证明三角形三条高线相交于一点的证明方法。在中学整个数学大的知识框架下，体会各知识点之间的联系，为灵活运动数学知识打下基础，真正实现数学的应用。关键词：平面向量斜率平面直角坐标系三角形内角和定理圆周角定理引言：在初中八年级数学里，我们谈到三角形的三条角平分线、三条中线以及三条高线。课本中给出三条中线的交点称为重心，从实际生活中看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，该点叫做物体的重心。同样，三角形的三条高线也是交于一点的，我们称它为垂心，以

2、下给出几种简单的证明方法。命题：三角形的三条高线交于一点。论证：已知一个三角形，分别作三条边上的高，试证明它们交于一点图（一）方法一思路：如图，分别作出三角形的高,相交于点，过作边上的高分别交，于,。只要证明，重合即可。证明：在和中∽即（1）同理∽，于是：（2）∽，于是：（3）故（等量代换)所以所以、重合，如图记重合点为，则点在三条高上，所以三角形三条高线相交于一点。图（二）方法二思路：巧妙运用中学向量知识解题，我们知道两个向量之间如果有，则说明。如图，作、边上的高、相交于点，连接并延长与。证明：不妨设，，。由题意知：。，，即化简得，两式相

3、加得：即所以，。y轴x轴图（三）方法三思路：运用平面解析几何知识，构建平面直角坐标系。应用知识点如果两条直线垂直，设斜率分别为，则有。证明：作不失一般性，设。则，。所以。联立成方程组：解得：即点坐标显然，1图（四）方法四思路：与中学数学中圆相联系，通过四点共圆说明三条高线相交于一点。作图：作三条边上的高相较于点。如图（四）所示，连接,并延长与相交于点，为了方便设。使用的推论：对于一个三角形及三条高线与对应边的垂足共6个点，会形成6个四点共圆的四边形。推论的简单说明：如图（四），试说明是同一个圆周上的四个点。分析：由作图知道，于是，以同理，放

4、到直角中研究，以长度的一半为半径作出一个圆，则点也恰好在圆周上。所以，是同一个以长度为半径，中点为圆心的圆周上。证明四：连接,（圆周角定理）共圆（圆周角定理）（等量代换）又（对顶角相等）且（三角形内角和定理）所以，垂直于，即三角形三条高相交于点。结束语：本文通过证明三角形三条高相交于一点，充分展示了数学学科的内在美，各个知识点看似毫无联系，实则存在着千丝万缕的交叉贯通。其实，该命题的证明方法远不止这些，至少还可以用反证法进行证明。希望同学们课下探究其他方法，深刻体会一题多解的妙处，在中学数学知识贯穿起来。