2019高考数学复习不等式选讲第2课时不等式的证明与柯西不等式练习理

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1、第2课时不等式的证明与柯西不等式1．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是(　　)A．(a＋3)2<2a2＋6a＋11B．a2＋≥a＋C．

2、a－b

3、＋≥2D.－<－答案　C解析　(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2<0，故A恒成立；在B项中不等式的两侧同时乘以a2，得a4＋1≥a3＋a⇐(a4－a3)＋(1－a)≥0⇐a3(a－1)－(a－1)≥0⇐(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以B项中的不等式恒成立；对C项中的不等式，当a>b时，恒成立，当a

4、1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．答案　2解析　(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝m＝时等号成立)．3．(2018·沧州七校联考)若logxy＝－2，则x＋y的最小值为________．答案　解析　由logxy＝－2，得y＝.而x＋y＝x＋＝＋＋≥3＝3＝，当且仅当＝即x＝时取等号．所以x＋y的最小值为.4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为__

5、______．答案　解析　方法一：(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3.当且仅当a＝b＝c时取等号成立．方法二：柯西不等式：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.5．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．答案　12解析　由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12，当a＝2b＝3c＝2时等号成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值为12.6．(2018·江苏南通联考)已知x>0，y>0

6、，a∈R，b∈R.求证：()2≤.答案　略证明　因为x>0，y>0，所以x＋y>0.所以要证()2≤，即证(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)，即证xy(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立．故()2≤.7．(2014·江苏)已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.答案　略证明　因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0，1＋x2＋y≥3>0.故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.8．(2018·福建质量检查)若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2.(1)求abc的最大值；(2)证明：＋＋≥.答

7、案　(1)　(2)略解析　(1)因为a，b，c∈R＋，所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．所以abc的最大值为.(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得＋＋＝(a＋b＋c)·(＋＋)＝[()2＋()2＋()2]×[()2＋()2＋()2]≥(×＋×＋×)2＝.所以＋＋≥.9．(2016·课标全国Ⅱ，理)已知函数f(x)＝

8、x－

9、＋

10、x＋

11、，M为不等式f(x)<2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，

12、a＋b

13、<

14、1＋ab

15、.答案　(1){x

16、－1

17、2得－2x<2，解得x>－1；当－

18、－1

19、a＋b

20、<

21、1＋ab

22、.10．(2015·湖南理)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．答案　(1)略　(2)略解析　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋

23、b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得0

24、x＋a－1

25、＋

26、x－2a

27、.(1)若f(1)<3，求实数a的取值范围；(2)若a≥1，x∈R，求证：f(x)≥2.答案　(1)(－，)　(2)见解析解析　(1)因为f(1)<3，所以

28、a

29、＋

30、1－2