2018年秋高中数学 推理与证明阶段复习课第2课推理与证明学案新人教a版

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1、第二课　推理与证明[核心速填]1．合情推理：(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．2．演绎推理：(1)演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)三段论是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明与间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：①综合法是从条件推导出结论的证明方法；②分析法是由结论追溯到条件的证明方法；(

2、2)间接证明一种方法是反证法，它是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法：数学归纳法主要用于解决与自然数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．特别要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．[体系构建][题型探究]合情推理　(1)观察下列等式：1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，……，据此规律，第n个等式可为________．(2)类比三角形内角平分线定理：设△ABC的内角A的平分线交BC于点M，则＝.若在四面体P－ABC中，二面角B－PA－C的平分面PAD

3、交BC于点D，你可得到的结论是________，并加以证明.【导学号：31062174】[解析]　(1)等式的左边的通项为－，前n项和为1－＋－＋…＋－；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为＋＋…＋.(2)画出相应图形，如图所示．由类比推理得所探索结论为＝.证明如下：由于平面PAD是二面角B－PA－C的平分面，所以点D到平面BPA与平面CPA的距离相等，所以＝.　①又因为＝＝.②由①②知＝成立．[答案]　(1)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋　(2)＝[规律方法]　1.归纳推理的特点及一般步骤　2．类比推理的特点及一般步骤[跟踪训练]1．(1)观察如图21中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)

4、个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.图21按此规律，推出Sn与n的关系式为________．(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4，________，________，成等比数列．[解析]　(1)依图的构造规律可以看出：S2＝2×4－4，S3＝3×4－4，S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．……猜想：Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)．(2)等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4

5、，，，成等比数列．[答案]　(1)Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)(2)　综合法与分析法　若a、b、c是△ABC的三边长，m＞0，求证：＋＞.【导学号：31062175】[思路探究]　根据在△ABC中任意两边之和大于第三边，再利用分析法与综合法结合证明不等式成立．[证明]　要证明＋＞，只需证明＋－＞0即可．∵＋－＝，∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－c

6、m2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，∵△ABC中任意两边之和大于第三边，∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，∴＋＞.母题探究：1.(改变条件)本例删掉条件“m＞0”，证明：＞.[证明]　要证＞.只需证a＋b＋(a＋b)c>(1＋a＋b)c.即证a＋b>c.而a＋b>c显然成立．所以＞.2．(变换条件)本例增加条件“三个内角A，B，C成等差数列”，求证：＋＝.[证明]　要证＋＝，即证＋＝3，即证＋＝1.即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列．∴B＝60°

7、.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac.∴c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．[规律方法]　分析综合法的应用综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.反证法　已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.[证明]　假设a