文科高三数学第11讲：利用导函数解决恒成立与零点问题（学生版）—黄庄马杰.docx

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1、第11讲利用导函数解决恒成立与零点问题一、函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极大值，记作如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极小值，记作极大值与极小值统称为极值，称为极值点．二、求函数的极值的三个基本步骤（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）检验在方程的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则在这个根处取得极大（小）值.三、求函数最值（1）求函数在区间上的极值；（2）将极值与区间端点函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.四、不等式的恒成立问题（1）若在上恒成立，等价于在上的最小值成立．（2）若在上恒成立，等价于在上的

2、最大值成立．（3）对任意，都有成立，等价于构造，．（4）对任意，都有成立，等价于构造，（5）对任意，都有成立的充要条件是．（6）对任意，都有成立的充要条件是．五、不等式的能成立（存在性）问题（1）若存在使得在上能成立，等价于在上的最大值成立．（2）若存在使得在上能成立，等价于在上的最小值成立．（3）若存在，使得成立，等价于构造，．（4）若存在，使得成立，等价于构造，．（5）若在，至少存在一个使得成立等价．六、不等式的恒成立与存在性的综合问题（1）对任意，存在，使得成立，等价于在上的最大值在上的最大值（2）对任意，存在，使得成立，等价于在上的最小值在上的最小值.1.恒成立问题中分离变量法

3、的应用2.讨论零点问题时注意函数是否是渐近类型的增减3.最值问题与恒成立或存在性问题的结合【例1】若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．解析：函数在上单调递减的含义是在上恒小于等于0，所以属于恒成立问题，可以采用分离变量的方法，即,这样可以理解为求在上的最大值答案：A【例2】已知函数，若在上是单调增函数，则的取值范围是_____．解析：函数在上单调递增的含义是在恒大于等于0，所以属于恒成立问题，可以采用分离变量的方法，即，这样可以理解为求在上的最大值，答案：【例1】若，则函数在区间上零点的个数为____________解析：求导可知，令可得，，所以在上单调递增，在上

4、单调递减。又，，所以在上只有1个零点答案：1个【例2】已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.解析：（Ⅰ）的定义域为..当时，在区间上，.所以的单调递减区间是.当时，令得或（舍）.函数,随的变化如下：+0↗极大值↘所以的单调递增区间是，单调递减区间是.综上所述，当时，的单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当时,在上单调递减.所以在上的最大值为，即对任意的，都有.当时，①当，即时，在上单调递减.所以在上的最大值为，即对任意的，都有.②当，即时，在上单调递增，所以.又，所以，与

5、对于任意的，都有矛盾.综上所述，存在实数满足题意，此时的取值范围是.【例1】已知函数在上是增函数，在上是减函数．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）当时，曲线总在直线上方，求的取值范围．解析：（Ⅰ）∵，∴．∵在上是增函数，在上是减函数，∴当时，有极大值，即，∴．（Ⅱ），∵在上是增函数，在上是减函数，∴，即．∵曲线在直线的上方，设，∴在时，恒成立．∵，令，两个根为，，且，－＋↘极小值↗∴当时，有最小值．令，∴，由，∴.【例1】已知函数.当时，求证：；解析：设，则.令，解得.在上变化时，的变化情况如下表-+↘↗所以当时，取得最小值.所以当时，，即.A【题1】若在上是减函数，则的取值范围是（）A．B．C．

6、D．【题2】已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【题3】已知函数，若的单调递减区间是，则的值是_______．【题4】已知（）．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）当时，若对任意有恒成立，求实数的取值范围．【题5】已知函数，是常数，R．（1）求函数的单调区间；（2）证明:函数的图象在直线的下方．B【题1】已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意的，都有成立，求的取值范围.【题2】已知函数．（1）当时，求函数的极小值；（2）当时，讨论曲线轴的公共点的个数．【题3】已知函数.(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)如果是曲线上的点，且，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数

7、的最小值.【题4】已知（）．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）当时，若对任意有恒成立，求实数的取值范围．【题1】已知函数，.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间；(Ⅱ)当时，若任意给定的,在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围．C【题1】已知函数（1）求的单调区间；（2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．【题2】函数,其中实数为常数.若曲线与直线只有一个交点，求实数的取值范围.【题3】已知函数，其中是常数．若存在实数，使