一元函数微积分

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1、第四部分一元函数微积分[考试要求]函数及其图形：集合，映射，函数，函数的应用（理解函数的概念，掌握函数的表示方法；了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形；会建立简单应用问题中的函数关系。）极限与连续：数列的极限，函数的极限，极限的运算法则，极限存在的两个准则与两个重要极限，连续函数，无穷小与无穷大。（理解极限的概念，理解函数的左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的

2、方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。理解函数连续性概念，会判断函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。）导数与微分：导数的概念，求导法则及导数基本公式，高阶导数，微分。（理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面的曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则，会求函数的微分；了解高阶导数的概念

3、，会求简单函数的阶导数，会求复合函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。）微分中值定理与导数应用：中值定理，导数的应用。（理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理；理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，掌握函数最大最小值的求法及简单应用；会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平和铅直渐近线；掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。）积分：不定积分和定积分的概念，牛顿—莱布尼兹公式，不定积分和定积分的计算，定积分的几何应用。（理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质、基本积分公式；掌握不定积分的换元积分法与

4、分部积分法。理解定积分的概念、基本性质及定积分中值定理；理解变上限定积分函数及其求导公式，掌握牛顿-莱布尼兹公式；掌握定积分的换元积分法和分部积分法；掌握用定积分表达和计算一些几何量，如平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、截面面积已知的立体体积等。）[样题]考试指南[内容综述]一、函数1．函数概念（1）函数的定义（2）函数的两要素（3）函数的图形（4）函数的表示法（5）分段函数（6）隐函数2．函数的性质（1）奇偶性（2）单调性（3）周期性（4）有界性3．反函数与复合函数（1）反函数（2）复合函数4．初等函数（1）基本初等函数（2）初等函数二、极限1．数列的极限（

5、1）数列的概念（2）数列极限的概念（3）判断极限存在的两个准则（4）数列极限的性质（5）数列极限的四则运算2．函数极限（1）时的极限（2）时的极限（3）夹逼定理（4）函数极限的性质（5）函数极限的四则运算、复合函数的极限3．两个重要极限4．无穷大量、无穷小量（1）无穷大量（2）无穷小量（3）几个关系（4）无穷小的比较与等价无穷小代换三、连续1．基本概念（1）连续及连续点（2）左、右连续（3）间断点及其分类2．连续函数的运算（1）四则运算（2）反函数的连续性（3）复合函数的连续性3．初等函数的连续性4．闭区间上连续函数的性质（1）有界性（2）最大、最小值定理（3）零点存在定

6、理（4）介值定理四、导数与微分1．导数概念（1）导数的定义（2）导数的几何意义（3）可导与连续的关系2．导数运算（1）基本导数公式（2）导数的四则运算（3）复合函数的链导法（4）隐函数的求导法、反函数的求导法、参数方程所确定的函数的求导法3．微分概念（1）微分的定义（2）可微与可导的关系—微分计算公式（3）微分的几何意义4．高阶导数（1）高阶导数的概念（2）常见的几个函数的高阶导数（3）复合函数、隐函数二阶导数的求法五、中值定理与导数应用1．中值定理（1）Fermat定理（2）Rolle定理（3）Lagrange中值定理2．洛必达法则3．函数的增减性与极值4．函数的凹凸性

7、和拐点六、不定积分1．原函数与不定积分（1）原函数的定义（2）原函数的构造（3）不定积分的定义（4）不定积分的性质（5）基本积分公式2．不定积分的换元积分法（1）第一换元积分法（凑法）（2）第二换元积分法3．不定积分的分部积分法七、定积分1．定积分的概念（1）定积分的定义（2）定积分的几何意义（3）函数可积的必要条件和充分条件2．定积分的性质3．变限定积分函数（1）变限定积分函数的定义（2）变限定积分函数的性质4．定积分的计算---牛顿-莱布尼兹公式5．定积分的换元积分法和分部积分法6．定积分的几何应用[典型例题]一、函数例1