1高中数学必修5第一章_解三角形全章教案(整理)

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1、--WORD格式--可编辑--专业资料--课题:§1．1．1正弦定理如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。从而在直角三角形ABC中，abcsinAsinBsinC思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则ab，C

2、sinAsinB同理可得cbB，basinCsin从而abcAcBsinAsinBsinC从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abcsinAsinBsinC[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC；（2）abcabcbacsinAsinBsinC等价于sinAsinB，sinCsinB，sinAsinC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA

3、sinB；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAasinB。b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例1．在ABC中，已知A450，B750，a40cm，解三角形。例2．在ABC中，已知a20cm，b202cm，A450，解三角形。练习：已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料----WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--1

4、--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--练习：1.在ABC中，已知A450，C300，c10cm，解三角形。2.在ABC中，已知A600，B450，c20cm，解三角形。3.在ABC中，已知a20cm，b102cm，B300，解三角形。4.在ABC中，已知c102cm，b20cm，B450，解三角形。补充：请试着推理出三角形面积公式（利用正弦）课题:§1.1.2余弦定理如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求边c联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解

5、决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则bcc2ababccaabb2abCaBa222abb从而c2a2b22abcosC(图1．1-5)同理可证a2b2c22bccosAb2a2c22accosB于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC思考：这个式子中有几个

6、量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cosAbca2bca2c2b2cosB2acb2a2c2cosC2ba--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料----WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--2--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第

7、三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？若ABC中，C=900，则cosC0，这时c2a2b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例1．在ABC中，已知a23，c6，B450，求b及A练习：在ABC中，若a2b2c2bc，求角A。例1．在ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况分析：先由sinBbsinA可进一步求出B；a则C1800(AB)asinC从而cA1．当A为钝角或直角时，

8、必须ab才能有且只有一解；否则无解。2．当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若absinA，则有两解；（2）若absinA，则只