必修5第一章解三角形全章解析

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1、必修5第一章解三角形一、本章知识结构:ab—c2psin4sinBsinCT常见变式正弦定理己知两角和任一边求其他边和角应用举例己知两边及其中一边的对角，求其他边和角a2=Z>24-c2-2bccosA—2cacosB—>推论c2=a2+，一2abcosC余弦定理—「己知三边求三角应用己知两边和它们的夹角,—求笫三边和其他角二、知识要点梳理知识点一：解三角形由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形。解三角形的问题一般可分为下面两种情形：①若给出的三角形是直角三角形，则称解直角三角形；②若给出

2、的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。（四种类型的解斜三角形）知识点二：解斜三角形的主要依据设的三边分别为a、b、c,对应的三个内角分别为A、B、Co（1）角与角的关系:①内角和：②互补关系:^+5+C=180°sin(A+B)=sin(180°-C)=sinCcos(A+B)=cos(180°—C)=-cosCtan(A+B)=tan(l80°-C)=-tanC③互余关系：sinc=sin(90°~=ccos—2C仔5(90。-》C=sin—2tan=tan(90°--)=cot-222（2）边与边的关系：三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小

3、于第三边。即：a+b>c,b+c>a,c+a>b,a—bCOb>c；B—COb=c②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，其比值为外接圆的直径。变式：a=22?sin"；sinA二a/2R;sinA/sinB=a/b;a*b*c二sinA:sinB:sinC①余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.2,22“aCOSA—即。=b+c-乃ccosA；变式：2bc。知识点三：AABC的面积公式=

4、(1)匸一a•Zl=—b、抵=・c、»222（其中人表示a边上的高）=(2)=-besinA=—absC=—acsinB=竺幺2224R(r为三角形的外接圆半径)三、规律方法指导1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角・（从而进一步求出其他的边和角）2.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.注意：①正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；②三角形问题

5、可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形屮大边对大角定理及儿何作图来帮助理解；3.三角形的形状的判定（1）根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦（余弦）定理实施边角转化，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边。（2）余弦定理用于判定三角形的形状的依据0°<<90°OcosF二"+°——>（Job?>a1①在中，2bc；A=90°OcosA==0O+c2=a1②在MEC中，2bc；90°vj40cos4=“+u——<0o沪+c2

6、除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：己知条件应用定理一般解法i边和二和(如a,B,C)正弦定理由A+B+C=180°,求角A；由正弦定理求出b与CoS,=—acsmB在有解时只有一解两边和夹和(如a,b,C)余弦定理由余弦定理求笫三边C；由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C=180°求出另一角。=^absinC在有解时只有一解三边(a,b,c)余弦定理由余眩定理求出角A、B；再利用A+B+C=180°,求出角CS、=丄absinC在有解时只有一解。2两边和英中一边的对角(如a,b,A)正弦定理由正弦定理求出角B；由A+B+C=180°,求岀角

7、C；再利用正眩定理求出c边，S△二C可有两解，一解或无解。