2019高考数学 立体几何第5讲直线平面垂直的判定与性质分层演练文

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1、第5讲直线、平面垂直的判定与性质一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC中共有直角三角形的个数为(　　)A．4　　　　　　　　B．3C．2D．1解析：选A．由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC．又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体PABC中共有4个直角三角形．2．如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1

2、在底面ABC上的射影H必在(　　)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A．由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1．因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC．所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．3．设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是(　　)A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c解

3、析：选B．A的逆命题为：当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β．由线面垂直的性质知c⊥β，故A正确；B的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B错误；C的逆命题为：当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c．由三垂线逆定理知b⊥c，故C正确；D的逆命题为：当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α．由线面平行判定定理可得c∥α，故D正确．4．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．其中正确命题的个数

4、是(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选B．命题①，若α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，又l⊂β，所以m⊥l，正确；命题②，l与m可能相交，也可能异面，错误；命题③，α与β可能平行，错误；命题④，因为m∥l，又m⊥α，所以α⊥β，正确．5．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是(　　)A．B．2C．3D．4解析：选D．如图，取BC的中点D，连接AD，则AD⊥BC．又PA⊥平面ABC，根据三垂线定理，得PD⊥BC．在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3，所以AD＝4．在Rt△PA

5、D中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝4．6．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(　　)A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′BCD的体积为解析：选B．若A成立可得BD⊥A′D，产生矛盾，故A不正确；由题设知：△BA′D为等腰Rt△，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，于是B正确；由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D＝45°知C不

6、正确；VA′BCD＝VCA′BD＝，D不正确．故选B．二、填空题7．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有__________________；与AP垂直的直线有________．解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC．因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB．答案：AB，BC，AC　AB8．如图所示，在四棱锥PABCD中PA⊥底面ABCD，且底

7、面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，BD，则AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC．所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD．而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)9．如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB

8、1，DF交于点E．要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．解析：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF．由已知可以得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h，又2×＝h×，所以h＝，DE＝．在Rt△DB1E中，B1E＝＝．由面积相等得×