高阶微分方程地解法及应用

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1、哈尔滨学院本科毕业论文(设计)题目：高阶微分方程的解法及应用院（系）理学院专业数学与应用数学年级2009级姓名刘晓辉学号09031212指导教师徐亚兰职称副教授2013年6月1日哈尔滨学院本科毕业论文（设计）目录摘要1Abstract2前言3第一章高阶微分方程的理论与结构4第二章高阶常系数线性微分方程62.1高阶常系数线性齐次微分方程62.1.1特征根是单根的情况62.1.2特征根是重根的情况72.2高阶常系数线性非齐次方程82.2.1常数变易法82.2.2比较系数法102.2.3拉普拉斯变换法112.3Euler方程1

2、3第三章可降阶的高阶微分方程的解法153.1形如的高阶方程153.2形如的高阶方程163.3形如的高阶方程173.4恰当导数方程19第四章高阶微分方程的应用21参考文献25致谢26哈尔滨学院本科毕业论文（设计）哈尔滨学院本科毕业论文（设计）摘要本文首先介绍了高阶微分方程的一些理论与结构。进而介绍了高阶齐次线性微分方程的求解方法和高阶非齐次线性微分方程的求解方法，在求解齐次线性微分方程里主要采用了特征根法；在求解非齐次线性微分方程里主要采用了比较系数法、拉普拉斯变换法和常数变易法。其次又介绍了几类可降阶的微分方程的解法，主

3、要有形如，，，恰当导数方程和Euler方程的降阶方法，并且研究了几类较为复杂的高阶微分方程的降阶问题。最后通过一些在现实生活中例子对这些方法的具体应用做了介绍。关键词：高阶常微分方程；常数变易法；特征根法；降阶法27哈尔滨学院本科毕业论文（设计）AbstractThispaperintroducessomeofthetheoriesandhigherorderdifferentialstructure.Thenintroducehigher-orderhomogeneouslineardifferentialequati

4、onmethodsandhigh-ordernon-homogeneouslineardifferentialequationmethodforsolvinghomogeneouslineardifferentialequationwherethemainuseoftheeigenvaluemethod;insolvinginhomogeneouslineardifferentialequationsinmainlyusesthecomparisoncoefficientmethod,Laplacetransformme

5、thodandtheconstantvariation.Andsecondlydescribesseveraltypesofdifferentialequationscanbereducedforthesolution,themaintangibleeg,appropriatederivativeequationsandEulerequationsreductionmethod,andstudiedseveraltypesofmorecomplexhigherorderdifferentialequationsreduc

6、tionproblem.Finallysomereallifeexamplesofspecificapplicationsofthesemethodshavebeendescribed.Keywords:HigherOrderOrdinaryDifferentialEquations;constantvariation;eigenvaluemethod;reductionmethod 27哈尔滨学院本科毕业论文（设计）前言常微分方程作为数学系重要专业的一门基础课程，对学习好其他的科目起到了至关重要的作用。它的形成与发展

7、是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。而高阶微分方程是常微分方程中的一个重要的组成部分，在现实的生活中也有着广泛的应用，比如工程问题。常系数线性微分方程的解法，高阶微分方程的降阶问题又是高阶微分方程的重中之重。常微分方程是在生产实践和科学技术中产生的。目前，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和

8、导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。人们对于二阶以及简单的高阶微分方程求解的方法有了很多理论成果，而高阶常微分方程并没有固定的解法，例如，高阶常系数线性齐次微分方程，我们可以运用特征根的方法进行求解，高阶常系数线性非齐次微分方程，我们可以