2003年全国考研数学二真题

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1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)若时，与是等价无穷小，则=.(2)设函数由方程所确定，则曲线在点(1,1)处的切线方程是.(3)的麦克劳林公式中项的系数是.(4)设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.(5)设为3维列向量，是的转置.若，则=.(6)设三阶方阵满足，其中为三阶单位矩阵，若，则.二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符

2、合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设均为非负数列，且,,,则必有()(A)对任意成立.(B)对任意成立.(C)极限不存在.(D)极限不存在.(2)设,则极限等于()(A).(B).(C).(D).第22页共22页(3)已知是微分方程的解，则的表达式为()(A)(B)(C)(D)(4)设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有()(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.(5)设,,则()(A)(B)(C

3、)(D)(6)设向量组I：可由向量组II：线性表示，则()(A)当时，向量组II必线性相关.(B)当时，向量组II必线性相关.(C)当时，向量组I必线性相关.(D)当时，向量组I必线性相关.三、(本题满分10分)设函数问为何值时，在处连续；为何值时，是的可去间断点？四、(本题满分9分)第22页共22页设函数由参数方程所确定，求五、(本题满分9分)计算不定积分六、(本题满分12分)第22页共22页设函数)在内具有二阶导数，且是的反函数.(1)试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条

4、件的解.七、(本题满分12分)讨论曲线与的交点个数.第22页共22页八、(本题满分12分)设位于第一象限的曲线过点，其上任一点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分.(1)求曲线的方程；(2)已知曲线在上的弧长为，试用表示曲线的弧长.-2O2xyyx=φ(y)九、(本题满分10分)第22页共22页有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2.根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).(1)根据时刻液面的面积，写出与

5、之间的关系式；(2)求曲线的方程.(注：表示长度单位米，表示时间单位分.)第22页共22页十、(本题满分10分)设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且若极限存在，证明：(1)在内;(2)在内存在点，使；(3)在内存在与(2)中相异的点，使第22页共22页十一、(本题满分10分)若矩阵相似于对角阵，试确定常数的值；并求可逆矩阵使十二、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为，，.试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为第22页共22页2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)、解：

6、当时，，，则，由题设已知，当时，与是等价无穷小，所以，从而．(2)、【分析】为了求曲线在点(1,1)处的切线方程，首先需要求出函数在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可．解：对所给方程两边对求导数，将其中的视为的函数，有将代入上式，得故函数在点(1,1)处的导数为1，即点(1,1)处切线的斜率为1，再利用点斜式得，过点处的切线方程为，即(3)、解：带佩亚诺余项的麦克劳林公式：求的麦克劳林公式中项的系数相当于先求在点处的阶导数值，第22页共22页就是麦克劳林公式中项的系数.；；(归纳法及求导公式)于是

7、有，故的麦克劳林公式中项的系数是(4)、解：方法1：用定积分计算.极坐标下平面图形的面积公式：，则=．方法2：用二重积分计算.表示该图形所占的区域，在极坐标下，利用二重积分面积公式：所以=．(5)、3【分析】本题的可由矩阵的秩为1，把其分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行(或任一非零行)，列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成．也可设求出，或利用或设，定出等．解：方法1：观察得A的三个行向量成比列，其比为1:1:1,故=，知，于是方法2：，而第22页共22页比较(1)，(2)式，得．方法3：设故(的主对角

8、元之和)(6)、【分析】先化简分解出矩阵，再计算行列式或者将已知等式变形成含有因子的矩阵乘积形式，而其余因子的行列式都可以求出即可．解：方法1：由，知，即，易知矩阵可逆，于是有再两边取行列式，得，因为,所以．方法2：由，得等式两端取行列式且利用矩阵乘积的行列式=行列式的乘积，得约去，得．二、选择题(1)、解：方法1：推理法由题设，假设存在并记为，则,这与矛盾