数学与应用数学本科毕业论文-数列极限的求法

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1、安阳师范学院本科学生毕业论文数列极限的求法作　者　　系（院）　　数学与统计学院　　专　　业　　数学与应用数学专业　　年　　级　　08级数应一班　　学号　　　指导教师　　　日　　期　　2012年4月17日14学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表

2、示了谢意。签名：　　　　　　　　　　日期：　　　　　　　　论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。签名：　　　　　　　　导师签名：　　　　　　　日期：14数列极限的求法董亚芳(安阳师范学院数学与统计学院,河南安阳455000)摘要：数列极限可用语言和语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求

3、法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.关键词：定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限第一章数列极限的概念在研究数列极限解法之前，首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础.1.1数列极限的来源及定义数列极限概念是由于某些实际问题的精确解答而产生的。如我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术。因一系列正多边形的面积子在无限增大时，内接正多边形无限接近于圆，同时

4、也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积。在解决类似实际问题中逐步的引出了数列极限。定义1（语言）：设是个数列，是一个定数，若，正整数N,使得当n>N时，都有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作，或,读作"当n趋于无穷大时，的极限等于或趋于"定义2：，若在之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限。注意：由定义2可知，若，使得数列中有无穷多个项落在之外，则一定不以为极限。定义2（A-N语言）：若A>0，正整数N，使得当n>N时，都有，则称是数列当n无限大时的非正常极限，或称发散于，记作或14

5、，这时，称有非正常极限。对于有类似的定义。为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.1.2数列极限求法的常用定理定理1.2.1（数列极限的四则运算法则）若和为收敛数列，则，也都是收敛数列，且有若再假设及，则也是收敛数列，且有定理1.2.2（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限。定理1.2.3（型stoltz公式）设有数列，，其中严格递增，且，如果则定理1.2.3'(型stoltz公式)设严格递减，且，若则14注意：特别地，由定理3得定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）：若，则(1)当时，有(2)

6、定理1.2.5（迫敛性）设收敛数列，都以为极限，数列满足：，当时，有，则数列收敛，且定理1.2.6（归结原则）设在内有定义，存在的充要调件是：对任何含于且以为极限的函数列，极限都存在且相等。第二章数列极限的求法2.1极限定义求法在用数列极限定义法求时，关键是找到正数.我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子.例2.1.1求，其中.解：.事实上，当时，结论显然成立.现设.记，则.由,得.（5）14任给，由（5）式可见，当时，就有.即.所以.对于的情况，因，由上述结论知

7、，故.综合得时，.例2.1.2定理1.2.4（1）式证明.证明：由，则，存在，使当时，有,则.令，那么.由，知存在，使当时，有.再令,故当时，由上述不等式知.所以.2极限运算法则法我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.例2.2.1求,其中.解：分子分母同乘，所求极限式化为.由知，当时，所求极限等于；当时，由于，故此时所求极限等于0.综上所述，得到14例2.2.2求，其中.解:若，则显然有；若，则由得；若，则.2.3应用迫敛性求极限定理1.2.5

8、又称夹逼准则，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具.例2.3.1求极限.解：因为，所以.因，再由迫敛性知.例2.3.2求数列的极限.解：记，这里，则,由上式得，从而有,（2）数列是收敛于1的，因对任给的，取，则当时有.于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为1,故由迫敛性得14.例2.3.3