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1、正定矩阵及其应用Makingmatrixanditsapplication专业:信息与计算科学作者:指导老师:湖南理工学院数学学院二○一二年五月岳阳湖南理工学院本科毕业论文摘要本文给出了若干充要条件；正定矩阵是一类特殊的矩阵,固然有它与其它矩阵不同的性质,所以给出了一些重要结论；本文还介绍了正定矩阵在分析中的应用；最后,还讨论了正定矩阵与柯西不等式、函数极值的关系.关键词:正定矩阵；充要条件；柯西不等式；函数极值II湖南理工学院本科毕业论文AbstractThispaperprovidedseveralsufficientrequirements.Makin
2、gmatrixisakindofspecialmatrix,thereisnodoubtthatithassomepropertiesdifferentfromothermatrix,soIhavegivesomeimportantconclusionswhichprovidedmyconclusion.Inpartfour,itintroducedtheanalysisoftheapplicationofmakingmatrix.AtlastthisthesisalsodiscussedtherelationbetweenMakingmatrix,Cauc
3、hyinequalityandfunctionextremum.Keywords:Makingmatrix;Sufficientrequirement;Cauchyinequality;FunctionextremumII湖南理工学院本科毕业论文目录摘要IABSTRACTII0引言11正定矩阵的等价定理12关于实对称正定矩阵的一些重要结论43正定矩阵与柯西不等式64在函数极值问题中的应用95小结116致谢11参考文献12第12页,共12页湖南理工学院本科毕业论文0引言矩阵的思想很早就已经有了,至少可以追溯到汉代中国学者在解线性方程组时的应用上.矩阵理论是数学
4、的一个重要的分支,它不仅是一门基础学科,也是最具实用价值、应用广泛的数学理论.特别是正定矩阵部分的应用很广泛[1-6],本文提供解决正定矩阵问题的方法并阐明它在实际中的应用. 1正定矩阵的等价定理判定一个矩阵是正定的,除了用定义外还可以运用一些与定义等价定理,以下给出了一些判定矩阵正定的充要条件.(1)正定矩阵的充要条件是的正惯性指数等于的维数.证明设二次型经过非退化实线性替换变成标准型(1.1)因为非退化实线性替换保持正定性不变,正定当且仅当(1.1)是正定的,而我们知道,二次型(1.1)是正定的当且仅当,即正惯性指数为.(2)是正定矩阵的充要条件是合同
5、于单位矩阵.证明由正定矩阵的充要条件是：的正惯性指数等于的维数可知,正定二次型的规范性为（1.2）因为二次型（1.2）的矩阵是单位矩阵,所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.(3)阶实对称阵为正定的充要条件是存在可逆矩阵,使成立.证明必要性：若是正定矩阵,则与单位矩阵合同.即存在实可逆矩阵,使,即,记,即有,且是可逆矩阵.充分性：若,是实可逆矩阵,对,,则第12页,共12页湖南理工学院本科毕业论文,所以,是正定的.(4)阶实对称阵为正定的充要条件是个特征值全为正值.证明因为对任意的一个级实对称矩阵,都存在一个阶正交矩阵,使得成为对角矩阵.若为正
6、定矩阵,一定为对称矩阵,故存在阶正交矩阵,使得,为正定矩阵当且仅当合同于单位矩阵,由矩阵合同的传递性可知,,得证.(5)是正定矩阵的充要条件是的所有顺序主子式大于零.证明先证必要性.设二次型是正定的.对于每个,,令.我们来证是一个元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数,有.因此是正定的.由上面的推论,的矩阵的行列式,.这就证明了矩阵的顺序主子式全大于零.再证充分性.用数学归纳法.当时,,由条件显然有是正定的.假设充分性的论断对于元二次型已经成立,现在来证明元的情形.令,于是矩阵可以分块写成.既然的顺序主子式全大于零,当然第12页,共12页湖南理工学院本科
7、毕业论文的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定,是正定矩阵,换句话说,有可逆的级矩阵使,这里代表级单位矩阵.令,于是.再令,有,令,就有.两边取行列式,.有条件,.显然.这就是说,矩阵与单位矩阵合同,因之,是正定矩阵,或者说,二次型是正定的.根据归纳法原理,充分性得证.(6)阶实对称阵为正定的充要条件是存在对称正定矩阵,使.证明必要性：存在正交阵,使其中记以及.(为的特征值).充分性：对任给,,(因为正定),所以正定.(7)是正定矩阵的充要条件是存在非退化的上(下)三角矩阵,使.证明不妨以下三角矩阵为例来证明,上三角矩阵的情况同理可证.必要性若是阶正定矩阵,则
8、的任意阶主子式大于零.特别的,有.将的第列乘适当的倍
