资源描述：
《芬斯勒几何一个充满生机的数学领域》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、芬斯勒儿何:一个充满生机的数学领域标签：曲率度量数学家研究空间2006-12-0220:10阅读(40)评论(0)历史沿革1854年，黎曼著名演讲［1］发展了一类基于弧长元素ds=F(xl,-,xn,dxl,…，dxn)的度量儿何(最初叫广义度量空间理论)•一个重要的特殊情形是F2(x,dx)=gij(x)dxidxj.由此确定的几何即是被后人命名的黎曼几何•黎曼在黎曼几何中引进了曲率概念，推广了高斯在二维曲面上的工作•对于一般的广义度量，黎曼给出了一个具休例子：F(x,y)二{(yl)4+・・・+(yn)4}1/
2、4,y=dx.黎曼断言基于这种广义度量的微分几何能够像黎曼几何一样得到发展，但他认为计算将非常复杂，因此很难对微分不变量赋予恰当的几何意义•最终黎曼只研究了具有二次型限制的度量，即黎曼度量.1900年，Hilbert在巴黎发表了关于23个数学问题的著名演讲，一般情形的广义度量空间理论包含在笫23个问题“变分法”中•在随后的几年中，一些数学家从变分法的几何处理出发研究了广义度量•其中的主要代表人物就是G.Landsberg,他在1907年引入了后来被L.Berwald称为Landsberg曲率的几何量，这是芬斯勒几何
3、屮的第一个非黎曼几何量.1918年,芬斯勒(PaulFinsler,1894-1970)在哥延根大学完成了他的博士论文•在论文中，芬斯勒研究了广义度量，引入了所谓的基木张量gij(x,y)=(2F2/yiyi)/2,和C-张量(我们现在称为Cartan张量)Cijk(x,y)二(gij/yk)/2.在黎曼几何情形，gij(x,y)正是基本张量gij(x).Cartan张量是非常重要的，因为它刻划了一个芬斯勒流形偏离黎曼流形的程度.事实上，一分芬斯勒度量是黎曼度量的充分必要条件是Cartan张量恒为零.1927年，J
4、.ILTaylor将广义度量空间的几何称为芬斯勒几何(现在人们也称其为黎曼-芬斯勒几何)•对芬斯勒几何真正作出重要贡献的第…位数学家应该是LudwigBerwald(1883-1942),他是第一个在芬斯勒空间屮引入联络并将黎曼几何中的黎曼曲率推广到芬斯勒几何中的数学家[2,3].Berwald联络满足无挠(torsionfree)条件但并不与度量相容.Berwald的贡献还在丁(1)利用Berwald联络刻划了Landsberg曲率，定义了Landsberg空间[3],(2)引入了一类重要的、他称之为仿射连通空间
5、的芬斯勒空间(1925年)(1938年，V.V.Wagner命名这类空间为Berwald空间)•黎曼空间和局部Minkowski空间均是特殊的Berwald空间.1981年，Szabo证明了：除黎曼空间和Minkowski空间外，恰好存在54类不町约和整体对称非黎曼Berwald空间，使得所有其它单连通和完备的Berwald空间都能整体地分解为上述56种空间的笛卡尔积[4]・(3)研究和发展了二维芬斯勒空间理论(1927年，1941年)・(4)在他身后发表的论文(1947年)中，他定义和讨论了具有标量旗曲率和常数旗
6、曲率的芬斯勒度量，开创了芬斯勒儿何中的…个重耍研究领域.1933年，法国著名数学家ElieCartan(1869-1951)发表了他的第…篇关于芬斯勒几何的论文，主题是关于芬斯勒度量的共形变换的若干注记，同时预告了他的确定一个芬斯勒空间联络的公理系统.1934年，Cartan发表了他关于芬斯勒几何的著名论文[5],详细介绍了他的确定芬斯勒空间联络(我们称之为Cartan联络)的公理系统.Cartan引入了线性元(lineelement)空间(即射影化切丛PTM)概念，将他的欧氏联络理论推广到了芬斯勒空间.Carta
7、n联络不满足无挠条件，但与芬斯勒度量是相容的.Cartan联络与Berwald联络及其相应的各类曲率张量对后来的芬斯勒几何研究产生了重要影响，并促进了芬斯勒几何在物理学、生物(态)学等领域中的应用研究・1941年，G.Randers从广义相对论的研究中引出了一个形如F(x,y)=a(x,y)+B(x,y)的芬斯勒度量，其中a(x,y)为一个黎曼度量，代表引力场;B(x,y)二bi(x)yi为一个1-形式,代表电磁场.Randers度量在电子显微镜及统一场论等领域的研究屮有重要应用，在芬斯勒几何的研究中也扮演了一个非
8、常重要的角色.对任意芬斯勒流形(M,F)在PTM上有一个整体定义的微分形式3：二Fyidxi,称为H订bert形式.(M,F)上曲线的长度恰市o的积分给出・1943年，数学大师陈省身教授从H订bert形式的外微分出发研究了芬斯勒空间屮的欧氏联络，构造了我们现在称Z为Chern联络的-类重要联络[6].Chern联络满足无挠条件且与度量几乎相容，这也使得它在芬
