抽象函数奇偶性对称性周期性总结

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1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一•概念：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由丁•抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力K周期函数的定义:对于/(兀)定义域内的每一个x,都存在非零常数7使得/(x+T)=/(x)恒成立,则称函数/(无)具有周期性，T叫做/(x)的一

2、个周期，贝MT(£wZ,EhO)也是/(兀)的周期，所有周期屮的最小正数叫/(%)的最小正周期。分段函数的周期：设y=/(x)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:y=/(%),x^[a,bT=b-ao把歹=/(x)沿兀轴平移KT=K(b-a)个单位即按向量0=(阳0)平移，即筍=/(兀)在其他周期的图像:y=fx-kT),xg[kT。/(兀)=

3、(x)则称y=/(兀)为偶函数。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：(1)中心对称即点对称：①点A(x,y)与B(2a-x,2b-y)关于点(a,b)对称；②点A(a-x,b-刃与+兀,b+y)关于(a,/?)对称；③函数y=/(无)与2/?-y=f(2a-x)关于点(a,b)成屮心对称；④函数/?_y=f(a-x)^b+y=/'(a+尢)关于点(a,b)成中心对称；⑤函数F(x,y)=0与F(2a-x,2Z?-y)=0关于点(q,Z?)成中心对称。(2)轴对称：对称轴方程为：Ax+By+C=O。zrx七“//、D72A(Ar+By+C)2B(Ax+S)+

4、C)一丫.工①点A(x,y)与=兀——―話―,y———总一)关于直线ZU+By+C=0成轴对称；②函数严用)与y_2/：+?+C)=念_2A(囂+?+C))关于直线AH+歹Ax+3y+C=0成丰由对称。③",y)=0与弘-2人今+D+C),『_2B(律+By+C))=。关于直线Av+By+C=O成轴对称-二、函数对称性的几个重要结论(一)函数=/(X)图象本身的对称性(自身对称)若f(x+a)=±f(x+b)，则f(x)具有周期性;若f(a+x)=±f(b-x)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、ja+x)=f(h-x)oy

5、=/(无)图象关于直线“S+Q+(U二凹对称22推论1：f(a4-x)=f{a-x)<=>y=f{x)的图象关于直线x=a对称推论2、/(%)=f(2a-x)u>y=/(兀)的图象关于直线x-a对称推论3、f(-x)=f(2a+x)oy=/(x)的图象关于直线x=a对称2、f(a+x)4-f(b-x)=2c<=>y=/(兀)的图象关于点("；",c)对称推论1、f(a+x)+f(a-x)=2hoy=/(兀)的图象关于点(Q,b)对称推论2、f(x)4-f(2a-x)=2b<=>y=f(x)的图象关于点(&,方)对称推论3、/(-x)+f(2a+x)=2Z

6、?oy=/(尢)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y=f(兀)与y=f(-X)图象关于Y轴对称2、奇函数y=/(X)与y=—/(—兀)图象关于原点对称函数3、函数y=/(x)^y=-f(X)图象关于X轴对称4、互为反函数y=/(兀)与函数y=f'x)图象关于直线y=x对称5.函数y=f(a+x)与歹=f(b-x)图象关于直线x=餐"对称推论1:幣数y=f(a4-x)与y=f(a-x)图象关于直线x=0对称推论2:函数y二/(兀)与=f(2a-x)图象关于直线x=a对称推论3

7、:函数y=f(-x)与y=f(2a4-x)图象关于直线x=-a对称(一)抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称，则以下三个式子成立且等价：(1)f(a+x)=f(a—x)(2)f(2a—x)=f(x)(3)f(2a+x)=f(—x)性质2若函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三个式子成立且等价:(1)f(a+x)=—f(a—x)(2)f(2a—x)=—f(x)(3)f(2a+x)=—f(—x)易知，y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当d=0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、若

8、对于定义域内的任一变量x,数函数y=f[g(x)]为偶函数。定义2、若对于定义域