第十二讲满秩分解与奇异值分解

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1、第十二讲满秩分解与奇异值分解1一、矩阵的满秩分解mn×mr×rn×1.定义：设ACr∈>(0)，若存在矩阵FC∈及GC∈，使得rrrA=FG，则称其为A的一个满秩分解。说明：（1）F为列满秩矩阵，即列数等于秩；G为行满秩矩阵，即行数等于秩。rr×（2）满秩分解不唯一。∀∈DC（r阶可逆方阵），则r−−11mr××rnA=FG=FDD()G=(FDDG)()=FG，且FCGC∈∈,1111rr2.存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩矩阵mn×证明：采用构造性证明方法。设AC∈，则存在初等变换矩阵rmm×EC∈，m2

2、Gr行rn×使EA=B=.......，其中GC∈rOmr()−行−1−1−1将A写成AEB=，并把E分块成EFS=[

3、]，其中r列()mr−列mr×FC∈r.G∴=AF.S....=FG是满秩分解。.O3.Hermite标准形（行阶梯标准形）3mn×设BCr∈>(0)，且满足r（1）B的前r行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后()mr−行的元素全为零（称为零行）；（2）若B中第i行的第一个非零元素（即1）在第j列i(ir

4、=1,2,...,)，则jj<<<...j;12r（3）矩阵B的第j列，第j列，…,第j列合起来恰为m阶单位12r方阵I的前r列（即jj,,...,j列上除了前述的1外全为0）m12r则称B为Hermite标准形。4120013−00102256×例1BC=000111−∈为Hermite标准形1300000000000056×0010200013BC=∈45×也是Hermite标准形22000000000045×54.满秩分解的一种求法mn×设AC∈，r（

5、1）采用行初等变换将A化成Hermite标准形，其矩阵形式为EA=B，其中B为Hermite标准形定义中给出的形状；（2）选取置换矩阵P1P的第i列为e，即该列向量除第j个元素为1外，其余jii元素全为零(ir=1,2,...,),其中j为Hermite标准形中每行第一i个非零元素（即1）所在的列数；2其它()nr−列只需确保P为置换矩阵即可（P的每一行，每一列均只有一个非零元素，且为1）；63用P右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可将该矩阵的第j列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第i列inr×4令PP=[

6、

7、*]，即Peee=...∈C11jjj12rnr×rr列()nr−列rn×mr×（3）令GB=的前r行∈C，F=AP∈C则A=FGn1rG−1Gmr×证明：EA=B=，A=EB=[F

8、S]=FG则FC∈，rOOrn×−1−1GC∈，G已知，但F=?，当然可以通过求出EE,再将E分块rIr得到，但这样G就没必要采用Hermite标准形形式，注意到BP=，1O7−1Ir则AP=EBP=[F

9、S]=F证毕11O1230例2A=0211−求其满秩分解

10、1021解：（1）首先求出A的秩。显然，前两行互相独立，而第三行可由第一行减去第二行得到，故r=2。(2)进行初等变换将A化为Hermite标准型。81230.100[AI

11、3]=0211.010−(3)−+(1)(2)→1021.0011230.1000211.010−(1)−(2)→0000.111−1021.110−0211.010−(2)/2→0000.111−−91021.1−10011/2−1/2.01/20，000

12、0.111−即110−E=01/20,−11110211021B=011/2−1/2,G=011/2−1/2000010(3)求出P及AP11101201由B可见，jj=1,=2故P=，F=AP=0212110010001212301021验证：FG=02=0211−011/2−1/210102111120−1而E=020101二、酉对角分解与奇异

13、值分解1.正规矩阵的谱分解A为正规矩阵，可酉对角化，则存在酉矩阵U，使λ1OλH=2=ΛUAUOλn12将U写成列向量形式，即Uuu=[...u]，则12nHλOu11Hλu22n=Λ=HH=AUU[u12u...un]..∑λiiiuui=1..OuλHnn这种分解形式称为正规矩阵