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1、数学建模教学随着科学技术的飞速发展,数学应用的范围得到了空前拓展。数学不仅在物理学、天文学中仍然起着重要的作用,而且逐步应用到化学、医学、生物学、环境科学、航天科学等许多尖端科学技术领域,以及军事、工业、农业、商业、经济管理、交通等领域,甚至应用到历史学、考古学和文学等社会科学领域。数学在各个学科领域的应用主要是通过数学建模来实现的。例如,气象工作者提供的天气预报是根据气象卫星收集的气象资料建立数学模型后得到的;天文学家通过天体运行数学模型推测行星的位置;生理医学专家通过建立药物浓度在人体内随时间
2、和空间变化的数学模型,分析药物疗效,有效指导临床用药;城市规划专家通过建立包括人口、经济、交通状况等多个因素的数学模型,为城市发展规划提供科学依据;企业集团根据商品的需求状况、流通状况、生产成本等信息,建立科学安排生产销售的数学模型,从而避免盲目生产,以获取更大的经济利益。上述数学模型非常复杂,建模过程也需要考虑许多因素,模型的建立与求解更需要许多高深的数学知识。也许有人要问,中学生能否进行数学建模的学习?开展数学建模有何意义?如何开展数学建模呢?本章将详细地探讨中学数学建模教学的有关问题.一、模
3、型及模型分类(一)模型的概念我们将人们在现实世界里所关心、研究或从事生产、管理的实际对象称为原型。例如一块手表、一辆汽车、一个操作流程、一个生产过程等都是原型。模型是指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而成的原型替代物。模型不是原型原封不动的复制品,只是反映了原型中与某种目的相关的特征。对于同一个原型,我们可以依据不同的目的和要求构造出许多不同的模型,机模型,外形非常逼真但未必能飞,而航模比赛中的飞机模型具有良好的飞行性能但外形未必美观、逼真。:(二)模型的分类人们可以从不同的角
4、度、依据不同的分类标准,对模型进行分类。这里介绍一种常见的模型分类法。按照模型替代原型的方式,模型可以简单地分为形象模型和抽象模型两类,前者包括直观模型、物理模型等,后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。1.直观模型是指那些供展览用的实物模型,是把原型的尺寸按比例缩小或放大得到的。直观模型强调外观的逼真性。2.物理模型是为了达到特定目的、根据相似原理或等效结构图构造出的模型,它既可以显示原型的外貌和部分特征,又可用来进行模拟实验,如地震模拟装置、核爆炸试验装置等。3.思维模型是认知主体反复认识原
5、型并将获取的知识以经验的形式直接贮存在思维中的模型,它往往具有模糊性、片面性、主观性、偶然性等不足。4.符号模型是在一些约定或规定下借助于特定的符号、标识、线条等,按照一定形式组合起来描述原型的模型,如物理学中的电路图、化学中的结构式等。5.数学模型一般是指由数字、字母或其他数学符号组成的,描述现实对象(原型)数量规律和空间特征的数学结构。具体地说,数学模型可以叙述为:对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设后,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构
6、。在研究过程中,有时我们无法对原型进行研究。例如,我们无法直接研究2脱年上海市的温度变化过程这个原型,而必须借助于收集到的各个时刻的数据,建立一个数学模型进行间接研究,像地震、核爆炸过程等也无法进行直接研究。人们发现,虽然借助于地震模拟装置、核爆炸实验装置的模拟实验,也可对一些事物、过程和现象进行研究,但成本太高、重复性也较差。这时人们又会借助于建立数学模型来进行数学模拟,因为数学模拟具有成本低、时间短、重复性高、灵活性大、结论具有可推广性等优点。1二、数学建模的过程(一)数学建模的一般过程数学建
7、模的一般过程大致可以分为现实问题数学化、模型求解、数学模型解答、现实问题解答验证四个阶段。这四个阶段实际上是完成从现实问题到数学模型,再从数学模型回到现实问题的不断循环、不断完善的过程,如图2-1所示:]图2-1数学建模的→般过程数学化是指根据数学建模的目的和所具备的数据、图表过程、现象等各种信息,将现实问题翻译转化为数学问题,并用数学语言将其准高地表述出来。求解是指利用已有的数学知识,选择适当的数学方法和数学解题策略,求出数学模型的解答。解释是指把用数学语言表述的解答翻译转化到现实问题,给出实际
8、问题的解答。检验证是指用现实问题的各种信息检验所得到的实际问题的解答,以确认解答的正确性和数学模型的准确性。图2-1直观地揭示了现实问题和数学模型之间的关系,即数学模型是将现实问题的信息加以数学化的产物。数学模型来源于现实、又超越现实,它用精确的数学语言揭示了现实问题的内在特性。数学模型经过求解,得到数学形式的解答,再经过一次转化回到现实问题,给出现实问题的决策、预报、分析等结果,最后这些结果还要经受实践的检验,完成由实践到理论再到实践这样一个不断循环、不断完善的过程。如果检验结果
