三角函数地图象与性质知识点汇总情况

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1、实用标准三角函数的图象与性质　　一、知识网络　　三、知识要点　　（一）三角函数的性质　　1、定义域与值域　　2、奇偶性　　（1）基本函数的奇偶性　　奇函数：y＝sinx，y＝tanx；　　偶函数：y＝cosx.　　（2）型三角函数的奇偶性　　（ⅰ）g（x）＝（x∈R）g（x）为偶函数　　由此得；　　同理，为奇函数　　.　　（ⅱ）为偶函数；为奇函数文档实用标准.　　3、周期性　　（1）基本公式　　（ⅰ）基本三角函数的周期　　y＝sinx，y＝cosx的周期为；　　y＝tanx，y＝cotx的周期为.　　（ⅱ）型三角函数的周期　　的周期为；　　的周

2、期为.　　（2）认知　　（ⅰ）型函数的周期的周期为；的周期为.　　（ⅱ）的周期的周期为；的周期为.　　均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.　　（ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.　　（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.　　（3）特殊情形研究　　（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为；　　（ⅱ）的最小正周期为；文档实用标准　　（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为.　　由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防

3、施错对象.　　4、单调性　　（1）基本三角函数的单调区间（族）　　依从三角函数图象识证“三部曲”：　　①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；　　②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；　　③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）　　循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.　　揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.　　（2）y＝型三角函数的单调区间　　此类三角函数单调区

4、间的寻求“三部曲”为　　①换元、分解：令u＝，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝；　　②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；　　③还原、结论：将u＝代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论.　　（二）三角函数的图象　　1、对称轴与对称中心　　（1）基本三角函数图象的对称性　　（ⅰ）　正弦曲线y＝sinx的对称轴为；　正弦曲线y＝sinx的对称中心为（，0）.　　（ⅱ）　余弦曲线y＝cosx的对称轴为；　余弦曲线y＝cosx的对称中心　　（ⅲ）正切曲

5、线y＝tanx的对称中心为；　正切曲线y＝tanx无对称轴.　　认知：文档实用标准　　①两弦函数的共性：x＝为两弦函数f（x）对称轴为最大值或最小值；（，0）为两弦函数f（x）对称中心＝0.　　②正切函数的个性：　　（，0）为正切函数f（x）的对称中心＝0或不存在.　　（2）型三角函数的对称性（服从上述认知）　　（ⅰ）对于g（x）＝或g（x）＝的图象x＝为g（x）对称轴为最值（最大值或最小值）；（，0）为两弦函数g（x）对称中心＝0.（ⅱ）对于g（x）＝的图象（，0）为两弦函数g（x）的对称中心＝0或不存在.　　2、基本变换　（1）对称变换　（

6、2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移　　3、y＝的图象　　（1）五点作图法　　（2）对于A，T，，的认知与寻求：　①A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；　　2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影间的距离.　　②：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.　　：由T＝得出.　　③：　　解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求，则须注意检验，以防所得值为增根；　　解法二：逆用“五点作图

7、法”的过程（参见经典例题）.　　四、经典例题　　例1、求下列函数的值域：文档实用标准　　（1）　（2）　（3）　　（4）　　（5）　（6）　　分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.　　解：　　（1）　　　　∵　　∴，　　即所求函数的值域为.　　（2）由　　∴　　∴　注意到这里x∈R，，　　∴　　∴

8、所求函数的值域为[－1，1].　　（3）这里　令sinx＋cosx＝t　则有　　且由文档实用标准　　于是有　∵∴因此，所求函数的值域为.（4）注意到这