高中数学一求数列通项公式的常用方法拓展资料素材北京师范大学版

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1、求数列通项公式的常用方法求数列的通项公式是数列考题中的常见形式，是利用数列知识考查数字运用能力的常见题型，在各类选拔性考题中经常出现，为了帮助同学们掌握这类知识，下面归纳几种常用的方法，供参考。一、运用等差数列和等比数列知识若题设中已知数列的类型，我们可用其性质及有关公式来求解。例1：若等差数列{an}满足bn=()，且b1+b2+b3=,b1·b2·b3=，求通顶公式an.解析：由b1·b2·b3=a1+a2+a3=3a2=1，根据题设可设等差数列{an}的公差为d，则由b1+b2+b3=，∴()1-d+()1+()1+d=d=2或d=-2，∴an=a2+(

2、n-2)d=2n-1或an=5-2n。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。二、运用Sn与an的关系当n=1时，S1=a1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1。例2：已知数列{an}的前n项和Sn=10n+1，求通项公式an.解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=10n+1-(10n-1+1)=9·10n-1，又当n=1时，a1=S1=11不适合上式，∴通项公式an=。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。例3：正项数列{an}的前n项和为Sn，若2=an+1(n∈N*)，求通项公式an.解析：根据题设2=an+1得4Sn=an2+2an+1，当n≥2时，有4Sn-1=an-12+2an-1

3、+1，二式相减，得4an=an2-an-12+2(an-an-1)，即an2-an-12-2(an+an-1)=0，由an>0知an-an-1=2，所以{an}是2为公差的等差数列，当n=1时，由4S1=a12+2a1+1a1=1，故an=2n-1.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。三、累加法和累乘法若已知数列的递推公式为an+1=an+f(n)可采用累加法，数列的递推公式为an+1=an·f(n)则采用累乘法。例4：在数列{an}中a1=1，当n≥2时，有an=3an-1+2，求其通项an.解析：由递推式知an+1=3an+2，又an=3an-1+2，二式相减，得an+

4、1-an=3(an-an-1)，因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列。其首项为a2-a1=(3×1+2)-1=4，∴an+1=an+4·3n-1，则有a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32……an-an-1=4·3n-2，把n-1个等式累加得an-a1=4(1+3+32+……3n-2)=2(3n-1-1)，则有an=2·3n-1-1.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。3例5：设{an}是首项为1的正项数列且(n+1)·an+12-nan2+an+1·an=0(n=1,2,彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。3……)，求它的通项公式an.解析：由(n+1)·a

5、n+12-nan2+an+1·an=0得(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0,又an,an+1>0,∴an+1=an，则a2=a1,a3=a2……an=an-1，把n个式子累乘得:an=()·()……()·a1，又a1=1故得an=。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。一、待定系数法对于形如an+1=pan+q(p,q为常数)的递推公式都可以采用此法，即可设an+1-t=p(an-t)再设法求出参数t.例6(同例4)解析：由题设知an+1=3an+2，可化为an+1-t=3(an-t)，即an+1=3an-2t，比较系数得-2t=2，即t＝－1，于是an+

6、1+1=3(an+1)，故数列{an+1}是公比为3的等比数列，首项为a1+1=2，则an+1=2·3n-1，即an=2·3n-1-1。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。二、恒等变形法将给出式恒等变形，使之转化为与an或Sn有关的等差和等比数列，此法有一定的技巧性。例7：在数列{an}中，已知a1=1，an=(n≥2)，求通项an.解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=,则2SnSn-1=-Sn+Sn-1,两边同除以SnSn-1得-=2(n≥2)，又a1=S1=1，则=1，∴数列{}是以=1为首项，2为公差的等差数列，∴=1+(n-1)·2=2n-1，∴Sn=，当n≥2

7、时，an=Sn-Sn-1=-=-，而n=1时，a1=S1=1不适合上式，∴an=。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。例8：已知通项数列{an}的前n项Sm满足Sn=(an+)，求通项an。解析：由Sn=(an+)，当n=1时，S1=a1=(a1+)a13=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1，则2Sn=Sn-Sn-1+,∴Sn+Sn-1=，即Sn2-Sn-12=1，∴数列{Sn2}是公差为1的等差数列，且首项S12=a12=1，∴Sn2=1+(n-1)，又Sn>0，∴Sn=，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=,又当n=1时也适合上式，故an=n-.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。一

8、、猜证法根据给出的公式，先求出数列的前