研究报告生入学统一测验考试数学二试题及解析

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1、2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当时，函数与等价无穷小，则（A）（B）（C）（D）【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。【详解】法一:由题设知从而，故。从而应选（C）。法二:所以。，从而应选（C）。2、已知在处可导，且，则（A）（B）（C）（D）【分析】本题考查导数的定义。通过适当变形，凑出在点导数定义形式求解。【详解】故应选（B）。评注：已知抽象函数在一点可导，求

2、含有该函数的某个极限，一般应利用导数定义完成。3、函数的驻点个数（A）0（B）1（C）2（D）313【分析】本题考查驻点的定义。先求出导函数，进而求出导函数的零点即可。【详解】：令，只需求，由于，所以有两解。故应选（C）。4、微分方程的特解形式为（A）（B）（C）（D）【分析】考查二阶常系数线性非齐次方程待定特解的形式。首先将方程右端分解，然后分别写出待定特解。【详解】特征方程为，解得所以的特解为、的特解为。由叠加原理知的特解形式为。5、设函数，具有连续二阶连续导数，满足，，且，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是（A），（B），（C），（D），【分析】本

3、题考查二元函数极值的充分条件..利用二阶连续可偏导二元函数取极小值的充分条件求解.【详解】由于，，；，。所以在点处，、、。要使在点处取得极小值，则必有,从而，,所以,.从而应选(A).136、设，，，则的大小关系是（A）（B）（C）（D）【分析】利用积分的性质直接比较被积函数在积分区间上的大小.【详解】因为，，所以而反常积分与都收敛,利用积分的保号性知：。故应选(B).评注:⑴与都是以为瑕点的反常积分,不难证明他们都是收敛的;⑵对于收敛的反常积分,类似于定积分的比较性质也成立.7、设为三阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵，记

4、，，则（A）（B）（C）（D）【分析】考查矩阵初等变换与初等矩阵的关系和逆矩阵的基本知识.【详解】对阶矩阵做一次初等行（列）变换，相当于用一个相应的阶(阶)初等矩阵左（右）乘矩阵A。由题设，而，因此，所以。故应选(D)8、设是4阶矩阵，是的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的一个基础解系为（A）（B）（C）（D）【分析】本题考查伴随矩阵和向量组相关性及方程组基础解系的有关知识.13【详解】显然，所以，从而的基础解系中含3个线性无关的解向量。因为，所以都是方程组的解，又因为是方程组的一个基础解系，所以线性相关，因此线性无关。故是的基础解系。评注：涉及伴随矩

5、阵的问题，常常用到下列结论：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺若可逆，则，，。二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9、________。【分析】考查未定式.可以利用重要极限、罗必达法则及常用求此类极限的方法求出。【详解】法一:法二:其中。因此法三：评注：求常用方法：设，，则1310、微分方程满足条件的解为________。【分析】考查一阶线性微分方程求特解的方法，可利用公式直接计算。【详解】因为，所以。故所求特解为。11、曲线的弧长__________。【分析】直接利用直角坐标系下求弧长公式计算。【详解】12、若函数，，则_

6、_________【分析】考查分段函数的反常积分。【详解】。13、设平面区域由直线圆及轴所组成，则二重积分_____【分析】考查初等函数二重积分的计算。由于积分域是圆的一部分，故选择极坐标计算。【详解】14、二次型，则的正惯性指数为______【分析】考查二次型的有关知识。求正惯性指数，只要求出二次型矩阵的特征根，判断特征根的符号即可，或化为标准型来确定。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。【详解】法一：二次型矩阵为，而13所以矩阵特征值为，因此的正惯性指数为2。法二：二次型通过配方法化为，从而正惯性指数为2.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的

7、位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。15、（本题满分10分）已知函数，设，，试求的取值范围【分析】考查极限逆问题、未定式的极限、变上限函数求导。【详解】因为，所以；要使则必有，所以；因为要使，必有，所以。综上可得。16、（本题满分11分）设函数由参数方程确定，求函数的极值和曲线的凹、凸区间及拐点。【分析】考查参数方程确定函数的求导方法、极值和拐点的确定方法、凹凸区间的判别法。先求出函数的一阶、二阶导数，然后求函数驻点和二阶导数等于零的点，进而分区间判断各子区间上一阶、二阶导函数的符号，确定出函数的极值点与拐点。残骛楼諍锩瀨濟

8、溆塹籟。13【详解】，令，解得，，由于，所以当时，即