含扩散和时滞的偏微分方程解的振动性质new

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1、http://www.paper.edu.cn含扩散和时滞的偏微分方程解的振动性质王长有（重庆邮电大学，应用数学研究所，重庆400065）摘要：研究一类含扩散和时滞的偏微分方程解的振动性，利用平均法，通过使用偏泛函微分方程上、下解思想和泛函微分方程振动性理论，获得了其解的非负性和关于正平衡态振动的充分条件，结果充分显示了解的振动是由时滞引起的，同时也指出了它与普通的偏微分方程质的差别,推广了已有的一些结果．关键词：时滞；扩散；上、下解；偏微分方程；振动性中图分类号：O175.2一引言研究一类时滞偏微分方程∂u(x,t)mn=d(t)∆u(x

2、,t)+u(x,t)(a+bu(x,t−τ)−cu(x,t−τ)),∂t(x,t)∈Ω×R,+在边界条件∂u(x,t)=0,(x,t)∈∂Ω×R,+∂γ及初值条件u(x,θ)=ϕ(x,θ),(x,θ)∈Ω×[−τ,0)下的振动性，这是一个生态模型,其中d(t)≥0,a、c均为正常数，b为常数，τ≥0是有界n常数，m、n是正整数，且m

3、即在低密度时，种群相互合作占主导地位，在[1]高密度时，种群相互竞争占主导地位．由于时滞的影响，常常会发生振动，关于时滞微分方程[2]振动性问题的研究已引起许多学者关注，各种结果不断涌现。对此类方程，当种群空间密度分布均匀，即d(t)=0时，文[3，4]讨论了这类模型的振动性，给出了其正平衡态振动的充分条件；当种群增长率是种群密度的线性函数，即c=0时，文[5]研究了这个方程解关于正平衡态振动的充分条件；当种群增长率不是种群密度的线性函数，文[6]研究了该方程在时滞不存在，即τ=0时，解的渐近稳定性，同时文[7，8]研究了该方程在时滞影响下

4、的稳定性，文[9]研究了该方程在m=1,n=2时解的振动性，但据作者所知，对偏泛函微分方程振动性的研究，已有的工作还不全面，尚有很多问题需解决，鉴于此，本文将利用偏泛函微分方程的上、下解方法和泛基金项目：重庆市教委科研项目(050308)和四川省学术与技术带头人项目基金资助（1200321）．作者简介：王长有（1968-），男，硕士，副教授,江西东乡人。主要从事偏泛函微分方程理论与应用研究.http://www.paper.edu.cn函微分方程振动性理论，研究此类方程在m=2,n=3时,即∂u(x,t)23=d(t)∆u(x,t)+u(x

5、,t)(a+bu(x,t−τ)−cu(x,t−τ)),∂t(x,t)∈Ω×R,（1）+在边界条件∂u(x,t)=0,(x,t)∈∂Ω×R,（2）+∂γ及初值条件u(x,θ)=ϕ(x,θ),(x,θ)∈Ω×[−τ,0)（3）下,解关于其正平衡态的振动性，给出其解关于正平衡态振动的充分条件．*假设问题（1）存在正平衡态u，即*2*3a+bu−cu=0,（4）**因为a>0,c>0，所以问题（1）的正平衡态u总是存在唯一的，且有:当u≥u时，*2*3**2*3a+bu−cu≤0,当0≤u≤u时，a+bu−cu≥0．二基本准备*定义１若对任意的T>

6、0，存在点(x,t)∈Ω×[T,+∞)，使得u(x,t)=u，则称问0000**题（１）～（３）的解u(x,t)在Ω×R内关于正平衡态u振动；否则，称u(x,t)关于u是非+振动的.~定义２函数u(x,t)和uˆ(x,t)称为方程（１）～（３）在区域Q=Ω×(−τ,T]上的上、T~下解，如果在区域Q上，u(x,t)≥uˆ(x,t)，并满足T~∂u~~23~−d(t)∆u≥u(a+bw−cw),∀w∈,∂t∂uˆ23~−d(t)∆uˆ≤uˆ(a+bw−cw),∀w∈,(x,t)∈Ω×(0,T)∂t∂u~∂uˆ≥0,≤0

7、,(x,t)∈∂Ω×(0,T],∂γ∂γ~uˆ(x,θ)≤u(x,θ)≤u(x,θ),(x,θ)∈Ω×[−τ,0),这里≡{u∈C(Q):uˆ≤u≤u~}.T2http://www.paper.edu.cn引理1若u(x,θ)=ϕ(x,θ)≥0,∀(x,θ)∈Ω×[−τ,0),则方程（１）～（３）在区域Q=Ω×(−τ,∞)上存在唯一连续非负整体解.T23证明因为a>0,c>0,不妨设函数f(u)=a+bu−cu,u≥0的最大值为M,则~*M(t+τ)*M≥a>0,令u=Me,uˆ=0,其中M≥maxϕ(x,θ)为常数.易证:对

8、任意(x,θ)∈Ω×[−τ,0)~T>0,u和uˆ是方程（１）～（３）在区域Q=Ω×(−τ,T)上的上、下解.由文[7]中定理T~2.2,可知此方程在Q上存在唯一解u(x,t),