5.10几何应用

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1、工科数学分析基础工科数学分析基础李换琴西安交通大学数学学院hqlee@mail.xjtu.edu.cn第五章多元函数微分学及其应用第一节n维1Euclid空间点集的初步知识第二节多元函数的极限与连续性第三节多元数量值函数的导数与微分第四节多元函数的taylor公式与极值问题第五节多元向量值函数的导数与微分第六节多元函数微分学在几何上的应用第七节空间曲线的曲率和挠率多元函数微分学几何应用西安交通大学李换琴2/23第六节多元函数微分学在几何上的应用6.1空间曲线的切线和法平面6.2弧长6.3曲面的切平面和法线习题5.61(3),2,4(2)(3)

2、(6)(8),5(3),10(2),11,16,18,20多元函数微分学几何应用西安交通大学李换琴3/236.1空间曲线的切线与法平面z1.曲线的参数方程设空间曲线的方程为r(x(t),y(t),z(t))xx(t)或yy(t)oyzz(t)x连续曲线：rr(t（)t）在[，]上连续.简单曲线：连续,且t,t(,),tt有r(t)r(t)121212简单闭曲线：为简单曲线,且r()r()规定t增大的方向为的正向.规定了正向的曲线称为有向曲线.多元函数微分学几何应用西安交通

3、大学李换琴4/232.空间曲线的切线与法平面P0M(x,y,z)z设空间简单曲线的方程为rr(x(t),y(t),z(t))P（t）r(t0)r(t)在[，]上可导，且r(t)0r(tt)0P0对应于tt0;P对应于ttt.oy0xr割线P0P的一个方向向量为P0Pr,或者rt切向量：limr(t0)方向与曲线的正向一致t0t即(x(t),y(t),z(t))000xxyyzz000.切线：r(t0)rt(t0)或x

4、(t)y(t)z(t)000法平面：x(t0)(xx0)y(t0)(yy0)z(t0)(zz0)0多元函数微分学几何应用西安交通大学李换琴5/23tu例1求曲线:xecosudu，y2sintcost,03tz1e在t0处的切线和法平面方程.解当t0时，x,0y,1z,2t3txecost,y2costsint,z3e,x)0(,1y)0(,2z)0(,3x0y1z2切线方程,123法平面方程x(2y)1(3z)2,0即x2y3z8.0多元函

5、数微分学几何应用西安交通大学李换琴6/23空间曲线r(x(t),y(t),z(t))在点P的切向量r(t).00F(x,y,z)0若空间曲线方程为：,G(x,y,z)0曲线xx的参(F,G)则当J0时,可表示为y(x)数方(y,z)z(x)程在M(x,y,z)处,切向量(1,(x),(x))00000222例2求曲线xyz6，xyz0在点,1()1,2处的切线及法平面方程.x1y2z1解切向量(1,,01),切线方程：,101法平面方程为(x)1

6、0(y)2(z)1,0或xz0多元函数微分学几何应用西安交通大学李换琴7/236.2弧长1.弧长的定义定义6.1设简单曲线的方程为M2Mn1MBMr(x(t),y(t),z(t))(t)1nA、B是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点AM0AM,M,M,,M,MB01in1n并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，n此折线的长

7、MM

8、的极限存在，则称是可i1ii1求长的，此极限为曲线弧AB的弧长.多元函数微分学几何应用西安交通大学李换琴8/232、平面曲线

9、的弧长设一平面光滑曲线的方程为yf(x)，求x[a,b]时此曲线对应弧段的长度s.yyf(x)弧长微元:ds22ds(dx)(dy)21ydx因此所求弧长Oaxxdxbxbb22s1ydx1f(xd)xaa多元函数微分学几何应用西安交通大学李换琴9/23直角坐标系:若曲线弧由参数方程给出:22ds(dx)(dy)xx(t)2(t)1ydxyy(t)2222弧长微元:ds(dx)(dy)x(t)y(td)t因此所求弧长sx2(t)y2(t)dt若曲线弧由极坐标方程

10、给出:()()令x()cos,y()sin,2222ds[x()][y()]d()(d)因此所求弧长