第五章数值分析

《第五章数值分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、IntroductiontoNumericalAnalysisChapter5:NumericalIntegrationandDifferentiation李元庆版权本人所有2012年11月12日李元庆(版权本人所有)IntroductiontoNumericalAnalysisChapter5:NumericalIntegrationandDifferentiation2012年11月12日1/85从定积分的定义的谈起Q1：引入定积分（Integral）的意义何在？计算不规则区域面积和体积……Q2：如何定义定积分？nRiemann和：Rn=åf(xk)
xk。k=1其中a

2、=x0

3、具有实际操作价值的。为了得到较好的近似效果，xi;xi通常要有选择的选取。n通常较大，需要多次计算积分函数f(x)的函数值。计算的目的在于如何用相对较低的成本得到精度较高的结果。对积分来说，成本就是用计算被积函数值的次数来衡量的。这样，直接的Riemann和是不适合来近似计算定积分的。李元庆(版权本人所有)IntroductiontoNumericalAnalysisChapter5:NumericalIntegrationandDifferentiation2012年11月12日3/85Q4：牛顿-莱布尼茨公式的计算效果如何？ZbN-L公式：I(f)=f(x)dx=F(b

4、)F(a)。a其中F(x):F0(x)=f(x)是函数f(x)的原函数。但是，一些函数找不到用不初等函数表示的原函数。x2sinx例如：f(x)=e;f(x)=等。x原函数即使有初等函数表示，也可能过于复杂不便于计算。Zpp2cx+b例如：a+bx+cx2dx=a+bx+cx24cb24acppln2cx+b+2ca+bx+cx2+C:8c3=2f(x)还可能是一个表函数，根本不知道具体的表达式。这些情况下，N-L公式是不合适的，我们需要数值求积分。李元庆(版权本人所有)IntroductiontoNumericalAnalysisChapter5:Numerica

5、lIntegrationandDifferentiation2012年11月12日4/85Q5：数值求积分有多大用处？在实际的科学计算中，数值求积通常会用到如下一些方面：积分变换：Laplace，Fourier，Hankel变换等。特殊函数：应用数学和数学物理领域的许多特殊函数都是用积分表示的，包括函数、贝赛尔函数、误差函数以及Fresnel积分和椭圆积分等。偏微分方程的有限元方法和边界元方法。积分方程以及变分法。概率统计：许多基本概念如概率分布等都是用积分定义的。古典和量子物理中许多系统的势能和自由能都是由积分给出。二十世纪十大经典算法之一：Fastmultipolem

6、ethod。因此，我们确实需要effiecientmethodstoevaluatetheintegrals！李元庆(版权本人所有)IntroductiontoNumericalAnalysisChapter5:NumericalIntegrationandDifferentiation2012年11月12日5/85Q6：如何数值求积分？ZbZb暗示1：如果^ff，是否有^f(x)dxf(x)dx？aa对^f有何要求？^f的积分容易求，本身形式简单。多项式插值；Fourier展开。n暗示2：Riemann和：Rn=åf(xk)
xk。k=1数值积分格式（待定系数法）：nZ

7、bIn(f)=åAkf(xk)f(x)dx:k=0a这两种方法各有优缺点，恰当的选取，有助于问题的理解。李元庆(版权本人所有)IntroductiontoNumericalAnalysisChapter5:NumericalIntegrationandDifferentiation2012年11月12日6/85插值型求积方法（1）ZbZb多项式Pn(x):Pn(xi)=f(xi)，则Pn(x)dxf(x)dx。aaZb流程：xi!f(xi)!Pn(x)!Pn(x)dx。a通常来说，我们不这么做。理由1：对