r01命题逻辑bnew

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1、回顾：命题概念及其判断命题联结词：否定、合取、析取、条件、双条件11.2命题公式通常,如果P代表真值未指定的任意命题,我们就称P为命题变元;如果P代表一个真值已指定的命题,我们就称P为命题常元。但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义,只关心其真假值。因此,我们可以形式地定义它们。定义１：以“真”,“假”为其变域的变元,称为命题变元;T和F称为命题常元。2命题公式和翻译单个命题变元和命题常元叫原子公式。由以下形成规则生成的公式叫命题公式:(1)单个原子公式是命题公式。(2)如果A和B是命题公式,则(¬A),(A∧B),(A∨B),(A→

2、B),(A↔B)是命题公式。(3)只有有限次应用条款(1)和(2)生成的公式才是命题公式。这种定义叫归纳定义,也叫递归定义。由这种定义产生的公式叫合式公式。3例1(a)说明(P→(P∨Q))是命题公式。解(i)P是命题公式根据条款(1)(ii)Q是命题公式根据条款(1)(iii)(P∨Q)是命题公式根据(i)(ii)和条款(2)(iv)(P→(P∨Q))是命题公式根据(i)(iii)和条款(2)4(b)以下不是命题公式,因为它们不能由形成规则得出。∧Q(P→QP→∧Q((PQ)∧R)5为了减少圆括号的使用,可做以下约定:•运算符结合力的强弱顺序为

3、:¬、∧,∨,→,↔凡符合此顺序的,括号均可省去。•相同的运算符,按从左至右次序计算时,括号可省去。•最外层的圆括号可以省去。例如:(¬((P∧¬Q)∨R)→((R∨P)∨Q))可写成：¬(P∧¬Q∨R)→R∨P∨Q但有时为了看起来清楚醒目,也可以保留某些原可省去的括号。6有了联结词和命题公式的概念,可将一些语句翻译成命题公式。例2(a)他既有理论知识又有实践经验。设P:他有理论知识,Q:他有实践经验,则可译为:P∧Q(b)他虽然不聪明，但很用功。设P：他聪明，Q：他用功，则可翻译为：¬P∧Q(c)除非你努力，否则你这次考试将不及格。设P：你努

4、力，Q：你这次考试将不及格，则可翻译为：¬P→Q7(d)设P:明天下雨,Q:明天下雪,R:我去学校。则(i)“若明天不是雨夹雪则我去学校”可写成：¬(P∧Q)→R(ii)“若明天不下雨并且不下雪则我去学校”可写成：¬P∧¬Q→R(iii)“若明天下雨或下雪则我不去学校”可写成：P∨Q→¬R(iv)“明天,我将雨雪无阻一定去学校”可写成：P∧Q∧R∨¬P∧Q∧R∨P∧¬Q∧R∨¬P∧¬Q∧R(v)“当且仅当明天不下雪并且不下雨时我才去学校”可写成:¬P∧¬Q↔R8(e)说离散数学枯燥无味或毫无价值，那是不对的。设P:离散数学是枯燥无味的,Q:离散数

5、学是毫无价值的,则上句可译为:¬(PQ)(f)我在教室看书或者我在操场跑步。设P:我在教室看书,Q:我在操场跑步,则上句可译为:（P¬Q）（¬PQ）9翻译时要按逻辑关系翻译,而不能凭字面翻。例如“林芬和林芳同在做作业”“林芬和林芳是姐妹”“张三或李四都可以做这件事”10真值表在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合(真值指派)，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。n一般来说，n个命题变元组成的命题公式共有2种真值情况。对含n个命题变元的命题公式，为方便构造命题公式的真值表，可以作如下约定：将公式

6、中出现的n个命题变元按字典升序或降序排列。对2n个不同指派，按其对应的二进制比特串以二进制数从小到大或从大到小顺序排列。若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。11例1构造公式(P∧¬P)↔(Q∧¬Q)的真值表PQ（P∧¬P）（Q∧¬Q）(P∧¬P)↔(Q∧¬Q)0000101001100011100112例2构造公式(P∧Q)∧¬Q的真值表PQ（P∧Q）¬Q(P∧Q)∧¬Q0001001000100101110013例3构造公式(P→R)∨(Q→R)的真值表PQRP→RQ→R(P→R)

7、∨(Q→R)00011100111101010101111110001110111111000011111114由前面的命题公式的定义可以看出，我们可以构造出无限多的命题公式。有些命题公式无论命题变元做何种指派，其对应的真值结果都恒为T，有些命题公式无论命题变元做何种指派，其对应的真值结果都恒为F，而有些命题在不同的指派下其真值既有T也有F。据此，我们可以将命题公式分为三类，分别称为重言式(tautology)、矛盾式(contradiction)、偶然式(contingency)。给定一命题公式，如果无论对于其中的命题变元做何种指派，其对应的

8、真值都为T，则称该命题公式为重言式或者永真式。给定一命题公式，如果无论对于其中的命题变元做何种指派，其对应的真值都为F，则称该命题公式