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1、第21卷第6期泉州师范学院学报(自然科学)Vol.21No.62003年11月JournalofQuanzhouNormalUniversity(NaturalScience)Nov.2003利用Matlab模拟混沌系统苏大生,夏小建(泉州师范学院物理系,福建泉州 362000)摘 要:以Rossler方程、Duffing方程和Vanderpol方程为例,应用Matlab仿真工具进行模拟,并对仿真结果作了简要说明和讨论,其中的示例对混沌研究和教学有一定的意义.①关键词:混沌;MATLAB;仿真中图分
2、类号:TP273文献标识码:A文章编号:1009-8224(2003)06-0029-03混沌是非线性科学研究的一个重要概念,近年来由于混沌在控制和保密通讯等方面的应用,使混沌研究成为学术界的热门课题之一.混沌系统的状态通常可用非线性微分方程来描述,这些方程的解一般难于用解析式表达,更多的情况只能采用数值解法.随着计算机技术的[1]发展,数值解法在混沌系统中将起着更重要的作用.本文应用MATLAB对混沌系统进行数法模拟,该方法也是一种数值解法,具有操作简单、直观、灵活等优点.1Matlab语言及其动
3、态仿真———SimulinkMatlab是由MathWork公司推出的一种面向科学与工程计算的高级语言,它集科学计算、自动控制信号处理、神经网络、图象处理等于一体,具有极高的编程效率.Matlab提供的[2,3]Simulink是一个基于Windows环境下的以图形进行编程的软件,可用来对动态系统建模、仿真和分析,编程时只需选择需要的模块,用鼠标将它们联结起来,并设定每一方块的参数,在用Simulink模拟混沌系统时,可根据非线性微分方程建立方块图,并设置参数进行模拟,即可得到对应的数值解.该方法具
4、有直观、方便、灵活等优点,下面以Rossler方程、Vanderpol方程和Duffing方程为例进行模拟.2 混沌系统的模拟2.1Rossler方程的模拟Rossler方程是由Rossler在1976年建立的一个简单的三维系统,其方程为dxdydz=-y-z,=x+0.2y,=0.2-5.7z+xz.dtdtdt①收稿日期:2003-04-25作者简介:苏大生(1974-),男,福建安溪人,助理实验师,主要从事应用软件及实验教学研究.30泉州师范学院学报(自然科学)2003年11月 应用Matla
5、b建模,得到图1的模型,其中,Sum(Sum1、Sum2和Sum3)是求和模块,Integrator(图1中Inte)是积分模块,用于实现求和.Product是求积模块,实现输入变量的乘积.Gain是增益模块,实现输入变量的增益,Const是常数模块,用于获得一个常数.XY为显示模块,可显示XY平面的轨迹.图2、3为在X(0)=Y(0)=1、Z(0)=2、仿真时间200秒的初始条件下,得到的在XY、XZ平面的混沌轨迹. 第6期苏大生等:利用Matlab模拟混沌系统31 该方程可以用一阶微分方程组来
6、描述2y′=ky(1-x)-x,y=x′.图6是Vanderpol方程的模块连接框图,取式(2)中的参数k=1,并设初始条件x(0)=y(0)=0.1,仿真时间为500秒,Vanderpol方程的混沌轨迹,见图7.3 结论Matlab的Simulink工具采用的是数值计算方法,不可避免地会产生数值误差.一个连续的动态系统一般为dx=f(x,t),(3)dt其中,x是n维状态矢量,函数f表示一个特定的系统.若给定初始条件x(0),时间步长为h,则通过对方程(3)差分的方法,可获得x(t)的变化轨迹为x
7、n(nh)=xn-1((n-1)h)+hf(x(n-1),(n-1)h),当h足够小时,即可获得x随时间的变化轨迹.h取值应适当,实际选用时,h太小,计算量太大;h太大,达不到计算精度.在Matlab中一般选用四阶的龙格库塔方法,它对步长自动选取,既减少计算量又适应精度要求.尽管采用四阶龙格库塔方法,但误差还是不可避免.实际上,除非步长非常小,否则截断误差通常是较严重的误差来源.对于大多数系统而言,随积分步数的增加其误差将逐步减小.但是混沌系统的一个显著特征就是对初始条件的极端敏感性,扰动将明显地改
8、变x(t)的轨迹,使得附近的轨迹呈指数分离.绝大多数工程上感兴趣的系统都是结构稳定的,即在f中一个小扰动将导致在其吸引子中也产生一个相应的小扰动.而数值误差可看作是一种扰动,因此,对混沌吸引子的模拟在细节上可能和实际情况不完全相同,但它保持了吸引子的宏观形状.文章采用的方法可用于模拟由状态方程描述的时不变系统.该方法实用、简便,对混沌研究和教学有一定的实际意义.参考文献:[1] 李建芬,李农,张祥娥.利用SPICE模拟混沌系统[J].电路与系统学报,1997,2(1)
