华侨大学2007_2008高数竞赛a卷new

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1、华侨大学2008年高等数学竞赛试题(A卷)考试时间：2008年6月14日(星期六)上午8：30—11：00境内（外）生系别专业准考证号姓名成绩大题一二三四五六七八九满分3288101071096得分一、填空题(本题共8小题，每小题4分，满分32分，把答案直接填在题中的横线上)2xx１、设Fx()=∫f(t)dt，其中f(x)连续，a为常数，则limFx()=.xa−axa→2222２、圆柱面xy+=9与xz+=9所围成的立体的体积V=________.2⎧2,πππ

2、的周期函数，它在(,π3π]上的表达式为fx()=⎨2⎩()xx−≤π,2<ππ3.π则f(x)的傅里叶级数在x=π处收敛于，在x=−处收敛于.22４、设Ω是由平面zz==0,y,y=1及抛物柱面y=x所围成的闭区域，则∫∫∫xzdxdydz=.Ω５、设f()xx=+(x1)(x+2)?(x+n)，则f′(0)=.x3x６、设函数f(x)在区间[1,+∞)上可导，f(1)=0，fe′(1+)=e+2，则f(3)=.⎧xy++b=022７、设直线l:⎨在平面π上，而平面π与曲面zx=+y相切于点(1,−

3、2,5)，⎩xa+−yz−30=则常数a=，b=.ddddddhhdãdπax+−ba−xb８、已知向量a与b满足：a≠0，b=1，(,ab)=，则极限lim=___________.4x→0x以下各题在答题纸上解答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、准考证号。．．．．．．22ln(1++xxx)+ln(1−+x)二、(本题满分8分)求极限lim．x→0secxx−cos三、(本题满分8分)设zf=[(xϕy),x−y]，其中f具有二阶连续偏导数，ϕ具有二阶导数，2∂z∂z求与．

4、∂y∂∂yx华侨大学2008年高等数学竞赛试题(A卷)第1页共2页332四、(本题满分10分)计算曲面积分I=+∫∫(2xy)dydz+(2y+z)dzdx+3(z−1)dxdy，∑22其中∑是曲面zx=−1−y(z≥0)的上侧．2y五、(本题满分10分)利用格林公式，求曲线积分I=+∫(3xysinx)dx+(x−ye)dy，L2其中L是在曲线yx=−2x上由点O(0,0)到点A(4,8)的一段弧．2xt+2dx−u六、(本题满分7分)设x=xt()是由方程te−du=0所确定的可导函数，求．∫1d

5、t2t=022222七、(本题满分10分)曲面z=−13x−y将球面xy++=z25分成三部分，求这三部分曲面面积之比．∞nnn(1−)n−2八、(本题满分9分)求幂级数∑(1−)nx的收敛域及和函数．n=22九、(本题满分6分)设函数f(x)在闭区间[1,4]上连续，在开区间(1,4)内可导，且f(4)=2，ff(1)+(2)+f(3)=6．证明：在(1,4)内至少存在一点ξ，使得f′()ξ=0．华侨大学2008年高等数学竞赛试题(A卷)第2页共2页华侨大学2007年高等数学竞赛试题(A卷)考试时间

6、：2007年6月16日(星期六)上午8：30—11：00系别专业准考证号姓名成绩大题一二三四五六七八九满分3210910108876得分一、填空题(本题共8小题，每小题4分，满分32分，把答案直接填在题中的横线上)１、设f()xx=sin,则ff′[(x)]=.πx=2222２、由方程xyz++xy+z=2所确定的函数zz=(,xy)在点(1,0,−1)处的全微分dz=________.⎧x=+θsinθ３、曲线弧⎨（−≤πθ≤π）的弧长s=.⎩y=−1cosθhhhhhh４、已知ab==2,2,且a

7、b⋅=2，则ab×=___________.∞n５、级数∑的和s=.n−1n=12arctanx−t22６、设曲线yf=(x)与曲线y=∫edt在原点(0,0)处具有相同的切线，则极限limnf()=.0n→∞n132∫xfx()dx0７、设连续函数f(x)恒取正值，则=.1∫xfx()dx0222+８、设函数f(,xy)在闭圆域Dx={(,y)x+y≤t}上连续，且f(0,0)≠0，则当t→0时,t∫∫f(,xy)dxdy是关于t的阶无穷小.（请填数字）Dt以下各题必须在答题纸上解答，并在每张答题纸

8、写上：系别、姓名、准考证号．．．．．．．．22二、(本题满分10分)设函数uf=(t)，tx=ϕ(,yx+y)，其中f具有二阶连续导数，ϕ具有二阶连续偏导数，22∂u∂u求与.2∂x∂∂xy∞nlnn三、(本题满分9分)判定级数∑(−1)是否收敛？若是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？n=1n第1页共2页2aa四、(本题满分10分)设f(x)为连续函数，证明：∫f(x)dx=∫[f(x)+f(2a−x)]dx，其中常数a>0.00πxxsin并求dx.∫0