释放出威海ppt

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1、第三模块导数及其应用第十四讲导数的概念及其运算回归课本www.iweihai.cn威海1.导数的概念(1)f(x)在x=x处的导数0函数y=f(x)在x=x处的瞬时变化率是0fx(+∆x)−fx()∆y00lim=lim,∆→x0∆x∆→x0∆x称其为函数y=f(x)在x=x处的导数,记作f′(x)或y′

2、,00x=x0即f′(x)0fx(+∆−x)fx()00lim∆→x0∆x(2)导函数当x变化时,f′(x)称为f(x)的导函数,则f′(x)=y′=fx(+∆x)−fx()lim.∆→x0∆x注意:导数是研究在x=x处及其附近函数的改变量Δy与自变0量的改变量Δx之比的极限,它

3、是一个局部性的概念.∆y若lim存在∆→x0∆x则函数y=f(x)在x=x处就有导数,否则就没有导数.02.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点0P(x,y)处的切线的斜率,过点P的切线方程为:y-00y=f′(x)(x-x).0003.几种常用函数的导数(1)c′=0(c为常数);(2)(xn)′=nxn-1(n∈N);(3)(sinx)′=cosx;(4)(cosx)′=-sinx;(5)(ex)′=ex;(6)(ax)′=axlna;1(7lnx)()′=;x1(8logax)()′=.xlna4.导数运算法则(1)[f(x)±g

4、(x)]′=f′(x)±g′(x);(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);'''⎡fx()⎤fxgx()()−fx()()gx()3⎢⎥=(()gx≠0).2⎣g(x)⎦[()gx]注意:关于导数的加减法则,可推广到有限多个情况,如[f(x)+g(x)+h(x)]′=f′(x)+g′(x)+h′(x)等.5.复合函数的导数设函数u=φ(x)在点x处有导数u′=φ′(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数,且y′=y′·u′或写作f(φ(x))=f′(u)·φ′(x).xuxx考点

5、陪练1.在平均变化率的定义中,自变量的增量Δx满足()A.Δx>0B.Δx<0C.Δx≠0D.Δx=0解析:当Δx>0时,是从右端趋近,Δx<0时,是从左端趋近,这就是“附近”的意义.答案:C评析:本题运用平均变化率中的Δx的意义来解决问题.2.一物体的运动方程是s=3+t2,则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为()A.0.41B.3C.4D.4.122∆s32.1+−(32)+解析:==41..∆t212.−答案:Df(1+∆x)−f(1)3.设函数f(x)可导,则lim∆→x0∆x等于()A.f′(1)B.3f′(1)C.f′(1)D.f′(3)答案:A4.已知函数f(

6、x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=(x-1)3+3(x-1)B.f(x)=2(x-1)C.f(x)=2(x-1)2D.f(x)=x-1解析:先求f(x)的导函数,再代入验证.当f(x)=(x-1)3+3(x-1)时,f′(x)=3(x-1)2+3且f′(1)=3(1-1)2+3=3.答案:A5.(2010·新课标全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为()A.y=x-1B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=-2x+2解析:由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2,所以在点(1,0)处的切线的斜率k

7、=1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y=x-1,故选A.答案:A类型一利用导数定义求导数解题准备:根据导数的定义求函数的导数是求导数的基本方法,应熟练掌握,关键是变形,找出分子与分母的对应关系.4【典例1】用定义法求函数y=的导数.2x444∆xx(2+∆x)[解]y∆=−=−,2222(x+∆x)xxx(+∆x)∆y2x+∆x=−4i,22∆xxx(+∆x)∆y⎡2x+∆x⎤8∴lim=lim⎢−4i⎥=−.223∆→x0∆x∆→x0⎢x(x+∆x)⎥x⎣⎦∆y[反思感悟]利用定义法求导数,要先求出,∆x然后分离出与Δx无关的量,再求解.类型二利用求导公式求导

8、数解题准备:1.运用可导函数求导法则和导数公式,求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的导数的基本步骤:(1)分析函数y=f(x)的结构和特征;(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导;(3)整理得结果.2.对较复杂的函数求导时,应先化简再求导,特别是对数函数真数是根式或分式时,可用对数的性质把真数转化为有理式或整式求解更为方便.2【典例2】求下列函数的导数:1y()=xsinx;xxx(2y)=3e−2+e;lnx(3)y=;2x+13(4y)=sinx.2[解](1