数值分析ch7非线性方程求根new

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1、数值分析ComputationalMethodChapter7非线性方程求根第7章非线性方程求根7．1方程求根与二分法1.引言•设fxCa,b若有x*使fx*0则称x*是方程fx0的根或fx的零点。•若fxxx*mgx,gx*0，m1,2,当m1时,称x*为方程fx0的单根，当m1时,称x*为方程fx0的m重根或fx的m重零点。•定理若fx有m阶导数，则x*是fx0的m重根的充分必要条件是(m1)fx*f

2、x*fx*0，f(m)x*0。证明:依据泰勒中值定理知.泰勒公式：(m1)mfx*2fx*m1fmfxfx*fx*xx*xx*xx*xx*2!m1!m!2.二分法•零点定理若fxCa,b又fafb0则a,b使f0。•依据零点定理对区间a,b逐次分半进行根的搜索，这就是二分法。，；•具体作法如下：ab设fa0，fb0令x0，2（1）若fx00，则

3、x0是根；（2）若fx0，令ax,bb；0101（3）若fx0，令b1x0,a1a。0对a,b再二分且同样的讨论，得x1和一半的区间11a,b,,将此过程继续下去，得xk。22则limxkx*k•定理设fxCa,b又fafb0则由二分法得到的xk收敛于根x*，且有根的x近似值k误差估计式：bax*xk1,2,kk•2。7．2迭代法及收敛性1.不动点迭代法的概念•将fx0改写成等价形式xx。若有x*使x*x*

4、,则将x*称为x的不动点。•求fx0的根x*,也就是找x的不动点。•设选择x0（初始近似值）并构造xk1xkk0,1,2,（2.2）计算公式（2.2）称为迭代格式,x称为迭代函数,得到的xk称为迭代序列,用公式（2.2）逐步代入求近似解的方法称为迭代法(或不动点迭代法)。•若limxkx*,则称迭代收敛,否则,就称迭代k发散。若x0a,b,迭代都收敛，则称迭代全局收敛。•压缩映象原理设xCa,b若(1)当xa,b时，有x

5、a,b，(2)L0且L1使x,ya,b有xyLxy则(唯一)x*a,b使x*x*。证明•压缩映象原理证明证存在性。令FxxxCa,b（1）Fa0，则x*a；（2）Fb0，则x*b；（3）FaFbaabb0，据零点定理，x*a,b，使Fx*0。证唯一性。若另有x0是不动点，x*x00x*xx*xLx*x000这与0L矛盾。1证毕2.全局

6、收敛•全局收敛性定理设xCa,b若•xa,b时，有xa,b;•L0且L1，使x,ya,b有xyLxy•迭代公式xk1xkk0,1,2,则x0a,b,迭代法收敛，且有以下估计式k（1）x*xkLx*x0Lx*xxx（2）kkk11LkL（3）x*xxxk101L证明x*x*，xkxk1x*xx*xkk1xxxxk1kkk1证（1）x*

7、xx*xkk12kLx*xLx*xLx*xk1k20又由于x*x是固定数，而0L1，所以，0limxkx*，迭代收敛。k证（2）xk1xkx*xkx*xk1x*xkx*xk11Lx*xk所以，11x*xkxk1xkxkxk11L1LLxxkk11L2L证（3）因而x*xkxk1xk2k1LLxx证毕101L•注：全局收敛性定理中条件(2)换成xa,b

8、,xL1，定理结论仍成立。据拉格朗日定理，xyxyxyxyLxy3．局部收敛和p阶收敛•定义若x*是x的不动点，0,使x0x*,x*,由迭代公式xk1xkk0,1,2,产生的序列xk，有limxkx*，k则称迭代局部收敛。•局部收敛性定理x*是x的不动点，x在x*连续，迭代公式xk1xk