国防科技大学2006年大学数学竞赛

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1、国防科技大学2006年大学数学竞赛非数学专业类试题（复试）（每题20分，共100分）一、若非负函数f()x在区间[,ab]上的任一子区间不恒为零，而在闭区间[,ab]上处处有fx′′()0≥．证明：方程fx()0=在(,)ab内至多只有一个实根．二、设有椭圆抛物面22xyΣ=+:(zp,q>0)22pq和平面π:0Ax+ByCz++=>D(C0)．（1）试给出Σ和π相交的充要条件．（2）当Σ与π相交时，求它们所围成空间形体Ω的体积和π被Σ截下部分的面积．三、证明：∞πn−11（1）=−∑(1)；42n=1n−1∞10n−11（2）π=−24∑(1

2、)−．3(n=12n−1)⋅(2)(21)(22)(23)nn⋅+⋅+⋅+nnT四、设A是实n阶矩阵，λ,λ,L,λ为AA的n个特征值，记12nTλ01=max{λλ,2,L,λn}，对任意n维实向量X=(x1,x2,L,xn)，定义n1X=(∑x2)2．证明：对任意维实向量nX=(x,x,L,x)T有AX≤λX．i12n0i=1五、设有编号为1,2,L,n的大小与形状相同的球随机地放入编号为1,2,L,n的盒子中，每个盒子恰好能装一个球．如果编号为的球恰好放入了与编号为的盒kk子中，则称一个配对．．用X表示总的配对数．（1）求X的数学期望与方差

3、；（2）求X的分布；（3）记p为至少有一个配对的概率，求limp．nnn→∞注意：请在答卷上写明考生所在单位、学号和姓名．参考解答一、证若方程fx()0=在(,ab)内有两个根x,x，且x．由拉格22朗日中值定理，有f()xffxc−=()ξ′()(ηξ−<)(η

4、，222从而f()ξf′()η=−<0．x−ξ2因此f′′()cfc>()(η<<<ξηx)，2这与f′′()0(xa≥≤x≤b)的假设矛盾，故方程fx()0=在(,ab)内至多只有一个根．二、解（1）Σ与π相交，当且仅当方程22⎧xy⎪z=+⎨22pq⎪⎩AxByCz+++=D0有无穷多个解．将第一个方程代入第二个方程，整理得22CpA22CqBpAqB()()x+++=+−yD，222pCqCCC2该方程有无穷多组解，当且仅当22pAqB22+−>D0，或pAq+>BC2D，22CC此即为Σ与π相交的充要条件．（2）由（1）知Ω在xOy平面上

5、的投影区域为22pA22qB()xy++()CCD:1+≤，22ab222222(2pA+−qBCDp)(2pA+−qBCDq)其中ab==,．22CC所求Ω的体积为22ABDxyVx=−−−∫∫(y)ddxy−∫∫(+)ddxy．CCC22pqDD作坐标变换2⎧pA⎪xa+=ρcosθ⎪C⎨，2⎪qByb+=ρsinθ⎪⎩C于是21πApABqBDVaa=−−∫∫d[(cθρθos)(s−−ρθin)]d−abρρ00CCCCC21π11pA22qB−−∫∫d[(cθabρθos)+(sρθin−)]dabρρ0022pCqC22pA+−qB2

6、CD=abπ．24Cπ被Σ截下部分的面积为22AB22Sz=1+′′+zddxy=1()()dd+−+−xy∫∫xy∫∫CCDD222ABC++=abπ．2C三、证（1）由∞∞21k+xx1kk2kxarctanxtt==∫∫2d∑∑(1)−dt=(1)−，−11<

7、−1)⋅⋅+⋅+⋅+(2)(21)(22)(23)nnnn∞∞∞∞∞nnnn−−−1111112n2=−∑∑∑∑(1)+−6(1)+−(1)+−+−(1)∑(1)nnnn====111121nnn−++2123nn=1n+1∞∞πππ12nn2=−6(−+−−+−1)[(1)]∑∑(1)−−(1)4443nn==12nnπ110=−4()61+−+−=−+2π．433T四、证由于AA是实对称的，故有正交矩阵C使得TTCAAC=diag(λ,λ,L,λ)，12nT2TT2设X是任一维向量，记nYCX=，则有XC=Y，X=YCCY=Y，n2TTTTT

8、222AX=XAAX=YCAACY=∑λiyi≤λ0Y=λ0X．i=1五、（1）EX=1；DX()1=；nk−j1(−1)（2）PXk{