国防科技大学 2007年湖南省大学数学竞赛选拔赛试卷参考.pdf

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1、国防科技大学2007年湖南省大学数学竞赛选拔赛试卷参考解答⎛⎞1211⎜⎟1121一、1．解：原式=lim⎜⎟++?++lim22nn→∞nn132nn−1→∞2+1⎜⎟11++1+1+⎝⎠nnnn1121=+∫d0lx=n3．210+x22222∂∂∂zzz∂∂∂zzz∂zzzz∂∂∂2．解：=+，=+2a，=+2+，222∂∂∂xuv∂∂∂yuv∂x∂∂uu∂v∂v22222222∂∂zz∂∂zz∂zzzz∂∂∂2=+2(aa++2)，=+44aa+，22222∂∂xyu∂∂∂uvv∂∂y∂∂uu∂∂vv22∂∂zz22代入得3(aa−+2)(2+−=a)0，则20+aa−=≠,

2、a2，则a=−1．2∂∂uv∂v3332223．I=ï∫∫(1)dd(1)ddxy+z++yzx++(1)ddzxyxyzv=∫∫∫3[(1)(1)(1)]d+++++，ΣΩ222224xyz(1z+=)dvzdv+πabc，D:1+≤−，∫∫∫∫∫∫2223abcΩΩ222cc2⎛⎞z43所以，zddv==−zzdσπabz⎜⎟1dz=πabc，∫∫∫∫−−cc∫∫∫c215ΩD⎝⎠4222由对称性，知I=+ππabca()b+c+4abc．5二、1．证：依题意，存在正常数M,M，使得对于一切x∈(,)−∞+∞，恒有：03

3、()

4、fxM≤，

5、()f′′′xM

6、≤．03由泰勒公式11

7、fx(1+=)()()fxfx+′+fx′′()+f′′′()ξ，其中ξ介于x与x+1之间，2!3!11fx(1−=)()()fxfx−′+fx′′()−f′′′()η，其中η介于x与x−1之间．2!3!上述两式相加，整理得1fxfx′′()=+−+−−(1)2()fxfx(1)[()f′′′ξ−f′′′()]η，61M3所以，

8、fx′′()

9、

10、(≤++fx1)

11、2

12、()

13、

14、(fx+−+fx1)

15、[

16、f′′′()

17、

18、ξη+f′′′()

19、]4≤+M．063再由两式相减，整理得11fx′()=+[(1)fx−fx(1)]−−+[()f′′′ξf′′′()]η，2611M3所以，

20、()

21、f

22、x′≤+[

23、(fx1)

24、

25、(+fx−1)

26、]+[

27、f′′′()

28、

29、ξη+≤f′′′()

30、]M+．0263综上所述，函数f′()x和f′′()x在(,)−∞+∞内有界．2xx2．证：作辅助函数Fx()=(∫0ftt()d)，则Fx′()2()==fx∫0fttgx()d2()在(,)−∞+∞内单调减少．因为，F′(0)=0，则当x≤0时，FxF′()≥=′(0)0，当x>0时，FxF′′()≤=(0)0．所以，Fx()在(,−∞0]内单调增加，在(0,+∞)内单调减少，所以Fx()在x=0处取最大值，从而，对于任意x∈−∞+∞(,)，恒有FxF()≤(0)0=，但Fx()0≥，所以，F

31、x()0≡．于x是，∫f()dtt≡0，所以，fx()0≡．022nn2n11xt−1x三、解：ax==ddt−xtx−=d，n∫∫−−1111++eext−−∫11+ex111122nn⎛⎞111ax=+⎜⎟ddxx=x=，n=0,1,2,?n211∫∫−−11⎝⎠++eexx−22n+1∞∞n∞nn21++(1)−21nnn21记Sx()=−∑∑(1)axn=x，−11≤

32、四、解：îî∫∫f()d(xyxyst++=ft)dstft=2(π)，Lt()Lt()2222224π45π4ï∫∫()x++yzStdd+=∫∫S+∫∫（xyStt)d=+=2πt，22St()S上半球面S底面2πtt2222∫∫f()xy+=dd(σθ∫00∫frrr)d=2(π∫0frrr)d，Dt()π2πt1222224∫∫∫x++yzvdd=∫000θ∫dsϕϕ∫rrindr=πt，2Ω()t2251π4t24224t2于是，2(πtft)+=t2(ππ∫frrr)d+t，即tft()+=t∫frrr()d，22003223221两边求导，得2()2()4tft′++t

33、ftttft=()，令ut=，得fu′()+=fu()−2，2u4C解得fu()=−u+,其中C为任意常数．3u五、解：构造拉格朗日辅助函数nn2Lxx(,,,,)12?xniλλ=∑∑axxjij−−(xi1)，ij,1==i1令⎧∂∂∂Lfg=−=−+++=λλ2[(ax)axa?x]0,⎪1111221nn∂∂∂xxx⎪111⎪∂∂∂Lfg⎪=−=+−+λλ2[ax(a)x?+=ax]0,1111221nn⎨∂∂∂xxx（1）222⎪?⎪⎪∂∂∂Lf