傅里叶变换_离散时间傅里叶变换_离散傅里叶变换的关系

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1、傅里叶变换_离散时间傅里叶变换_离散傅里叶变换的关系E-mail:lumin_3@126.com仿真文件名：ctft_dtft_dft_fft.m1信号图1连续信号时域波形如上图所示，要进行变换的信号在时域上为一矩形脉冲，脉宽为，即有(1)2连续时间傅里叶变换一个信号的连续时间傅里叶变换定义为(2)则上一节给出的信号的连续时间傅里叶变换可表示为(3)下面为通过MATLAB画出的其幅度谱（）图2连续时间傅里叶变换幅度谱1离散时间傅里叶变换一个离散信号的离散时间傅里叶变换定义为(4)其中，为经采样频率归一化后的角频率。相对于以为周期。现对第1节中的信

2、号用采样频率进行采样，则可得到离散化信号，其傅里叶变换为(5)下面为通过MATLAB画出的其幅度谱（）图3离散时间傅里叶变换幅度谱上图中，脉宽N为60个采样点（）。下面试着说明离散时间傅里叶变换在一个周期内的谱与连续时间傅里叶变换的关系。当采样频率足够高时，由式可近似表示为(6)其中，。定义，并令，则上式可化为(7)于是有(8)为了对比连续时间傅里叶变换与离散时间傅里叶变换对一个连续时间信号及其采样信号的作用，这里取，脉宽，则可得。下面将式和式表示的信号的幅度谱画在一起，如下图所示。图4信号幅度谱从图中可以看出，只要DTFT结果的频率点数取得足够

3、多（这里取8192个点），两者是基本一致的。这说明，在仿真过程中，可以通过式在近似连续时间傅里叶变换的结果。1离散傅里叶变换（DFT）设是一个长度为N的有限长序列，则的N点离散傅里叶变换（DFT）为：(9)其中，。注：当用采样率去采一个连续信号时，相当于把信号频带限定在，即对此离散信号进行离散时间傅里叶变换时，频率范围为。现对这个频率范围进行N点采样（相当于对原始离散信号进行N点DFT），则变换中的基有如下关系：(10)其中，，为采样时间间隔，，为频率采样间隔。DFT具有周期性和对称性。在实际应用中可以采用FFT来计算信号和DFT。由于DFT（F

4、FT）实际上是对DTFT结果在频域的采样，所以对于如上一节中的信号，这里可以得到(11)对于上一节，经采样频率采样后得到的信号，为了使点数与上面的DTFT仿真中的频域点数（8192）一致，这里取nfft=8192点FFT，其频率范围为[(-nfft/2:nfft/2-1)/nfft*fs]。具体地，，。信号如下图所示图5信号时域图形下面将式、式和式表示的信号的幅度谱画在一起，如下图所示。图6信号幅度谱从上图可以看出，式可以用来计算连续时间傅里叶变换的近似。而且可以验证，DFT（FFT）为DTFT的结果（频域）的离散化结果。