梯度-散度与旋度

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1、梯度、散度和旋度 (2011-09-1220:36:08)转载▼标签： 旋度 散度 梯度 矢量场 拉普拉斯算子 波动方程分类： 电子技术   梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记作如下：                                                                                                  从符号中可以获得这样的信

2、息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。资料这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式                               (1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数

3、来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：                         (2)                          (3)                           (4)旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。 I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：                                  而                           

4、       (5)则电势的梯度的散度为                            这是一个三维空间上的标量函数，常记作资料                                 (6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。事实上因为定义                                所以有                               当然，这只是一种记忆方式。当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程                  

5、                    当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即                                     这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。 II.散度的梯度：资料散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某

6、点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。在半导体中，载流子分布的不均匀会导致扩散电流。散度的梯度这个概念其实不常用，因为计算复杂，但在后面讲用它来推导一个矢量恒等式。 III.梯度的旋度：对于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有由于势函数在空间一点的领域内往往是有二阶连续混合偏导数的，因此上式的结果为0.所以说梯度的旋度为零，它的物

7、理意义也是很明确的。比如一个人从海平面爬到一座山上，无论它是从山的陡坡爬上去还是从缓坡爬上去，亦或者坐直升机上去，重力对他所做的功总是相等的，即力场的做工只与位移有关，而与路径无关，这样的场称为保守场，而保守场是无旋场。再比如绘有等高线的地图，如果某点只有一个一根等高线穿过，那么该点有一个确定的相对高度。如果该点有两条或以上的等高线穿过，则这个点处在悬崖边上，这个点处是不可微，也就没有求梯度的意义。 IV.旋度的散度：求旋度的散度也是将(4)式代入(3)式即可。若令                   

8、         (7)则资料                                                                                                      从而                                                                                             将上面三式相加结果也