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1、概率论与数理统计补充2讲本文件可从网址http://www.appmath.cn或http://www.应用数学.cn上下载1超几何分布超几何分布的描述是,有?个对象,其中有?个属于?类的,从这?个对象中不放回地任抽?个,问其中属于?类的有?个的概率是多少?更进一步的问题是,属于?类的数量不大于?个,不小于?个,在?1个和?2个之间的概率各为多少?2例如,袋中有100个球其中有30个是红球,任抽6个,求红球的数目为3个的概率.盒中有200件产品其中10件次品,现任抽5个,问次品的数量为4个的概率.一班共有120个学生,其中40个女生,从
2、中任抽15个学生,问其中有8个女生的概率是多少,等等.3定义设一个集合中共有?个元素,其中有?个属于?类,从这?个元素中不放回地任取?个,?≤?,?≤?−?,定义随机变量?为这?个元素中属于?类的个数,则?服从参数为?,?,?的超几何分布,记作?~?(?,?,?),则根据古典概型的原理有??−???−???=?=(?=0,1,…,?)???令?=,??=???当?很大时近似有?~?(?,?)4第一章习题第8题在1500件产品中有400件次品,1100件正品.任取200件.(1)求恰有90件次品的概率.(2)求至少有2件次品的概率解设X为
3、200件产品中的次品数,则?~?(1500,400,200),因此(1)400110090110??=90=≈015002005第一章习题第8题在1500件产品中有400件次品,1100件正品.任取200件.(1)求恰有90件次品的概率.(2)求至少有2件次品的概率解设X为200件产品中的次品数,则?~?(1500,400,200),因此(2)??≥2=1−??<2=1−??=0−??=111001100400×200199=1−−≈0150015002002006第一章习题第28题有两种花籽,发芽率分别为0.8,0.9,从中各取一颗,
4、设各花籽是否发芽相互独立,求(1)这两颗花籽都能发芽的概率.(2)至少有一颗花籽能发芽的概率.(3)恰有一颗能发芽的概率.解设这两种花籽为甲,乙两种,事件?表示甲种花籽发芽,事件?表示乙种花籽发芽,?(?)=0.8,?(?)=0.9(1)两颗花籽都能发芽的事件为??,???=????=0.8×0.9=0.727第一章习题第28题有两种花籽,发芽率分别为0.8,0.9,从中各取一颗,设各花籽是否发芽相互独立,求(1)这两颗花籽都能发芽的概率.(2)至少有一颗花籽能发芽的概率.(3)恰有一颗能发芽的概率.解设这两种花籽为甲,乙两种,事件?表
5、示甲种花籽发芽,事件?表示乙种花籽发芽,?(?)=0.8,?(?)=0.9(2)至少有一颗花籽能发芽的事件为?∪?,??∪?=??+??−???=0.8+0.9−0.8×0.9=0.988第一章习题第28题有两种花籽,发芽率分别为0.8,0.9,从中各取一颗,设各花籽是否发芽相互独立,求(1)这两颗花籽都能发芽的概率.(2)至少有一颗花籽能发芽的概率.(3)恰有一颗能发芽的概率.解设这两种花籽为甲,乙两种,事件?表示甲种花籽发芽,事件?表示乙种花籽发芽,?(?)=0.8,?(?)=0.9(3)恰有一颗花籽能发芽的事件为??∪??,???
6、∪??=???+???=0.8×0.1+0.2×0.9=0.269第一章习题第30题(1)给出事件?,?的例子,使得(i)?(?
7、?)
8、?)=?(?),(iii)???>?(?)解(i)找?,?互斥的例子,(ii)找?,?独立的例子,(iii)找?包含?的例子.例如,掷两次硬币,(i)?为第一次正面,B为第一次反面,则?(?
9、?)=0
10、?)=?(?)=0.5,(iii)?为两次都正面,?为第一次正面,则?⊃?,?(?)=0.25
11、?)=0
12、.510第一章习题第30题(2)设事件?,?,?相互独立,证明(i)?与??相互独立,(ii)?与?∪?相互独立.证思考是将?要与之独立的?与?的任何复杂逻辑表达式都写成最小项的和事件形式后,因为最小项是互斥的,则和事件的概率是各个最小项的概率之和,而?与这样的事件的积事件也将描述成三个事件的最小项的和事件,再利用分配率原理提取公因式,就能够证明?与?和?的任何复杂逻辑表达式都相互独立.11第一章习题第30题(2)设事件?,?,?相互独立,证明(i)?与??相互独立,(ii)?与?∪?相互独立.证(i)因为????=????=?????
13、?=???(??),所以?与??相互独立(ii)因为?∪?=??∪??∪??,则?[??∪?]=?(???∪???∪???)=??[????+????+??)?(?]=???(?∪?)所以?与?∪?相互独立
