2017_2018学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法二综合法与分析法同步配套教学案新

《2017_2018学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法二综合法与分析法同步配套教学案新》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、二综合法与分析法1.综合法(1)定义：一般地，从C知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得岀命题成立,这种证明方法叫做综合法，综合法乂叫顺推证法或由因导杲法.(2)特点：由因导果，即从“己知”看“可知”，逐步推向“未知”.(3)证明的框图表示：用P表示已知条件或已有的不等式，用0表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为

2、宀训一阳两一国今4-……TQ今Q2.分析法(1)定义：证明题时，常常从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为己知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或己证明的定理、性质等)，从而得岀要证的命题成立,

3、这种证明方法叫做分析法，这是一种“执果索因”的思考和证明方法.(2)特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.(3)证明过程的框图表示：用0表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为WfP0Rf得到一个明显成立的条件对应学生用书P21用综合法证明不等式［例1］已知x>0，y>0,且x+y=,求证:［思路点拨］可将所证不等式左边展开，运用己知和基本不等式可得证，也可以用/+y取代“1”，化简左边，然后再用基本不等式.［证明］法一：TQO,y>0,/.1=x+2y［xy.・•・“+沪+-+-+—xyxy=1+^~^+—=1+—>1+8=9.xyxyx

4、y当且仅当x=尸+时等号成立.法二:x+y=1,%>0,y>0,宁）（】+书=^2+^2+^=5+2^+^5+2X2=9.当且仅当/=尸*时，等号成立.［方法・规律・小结］——综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.〃〃几•&就集剎1.己知日，b、cWR+,证明不明式:a+b+c^yl~^+yl~bc+y［ca,当且仅当a=b=c时取等号.证明：因为臼〉0,方>0,c〉0,故有日+力$2寸嬴，当且仅当a=b时取等号；b+c22莎,当且仅当b=

5、c吋取等号；c+日22寸石，当且仅当c=a时取等号.三式分边相加，得a+b+c^y［ab+y［bc+y［ca.当且仅当日=Z?=q时取等号.2.已知臼，方，c都是实数，求证：a+l)+c(日+b+c)22ab+bc+ca.证明：Va,b,cGR,・・・/+畑2也t)+c^2bc.c+a^2ca将以上三个不等式相加得：2(/+方‘+c)22(&b+bc+ca)①即a+!j+ab+bc+ca.②在不等式①的两边同时加上“/+/+/”得：3{a+Z?2+c)三(日+b~~c)2即a+!j(日+〃+q)1③在不等式②的两端同时加上2("+比+如得:(日+Z?+C$3(日

6、力+bc+ca}B

7、J~(c?+b+c)2ab+bc+ca.④由③④得3+1)++b+c)2^ab+bc+ca.希点用分析法证明不等式［例2］已知/>0,y〉0,求证(/+y)

8、>(x+y)

9、.［思路点拨］不等式两边是根式，可等价变形后再证明.分析每一步成立的充分条件.［证明］要证明(?+/)

10、>(7+/)

11、,只需证(，+y)3>(7+y)2.即证/+3?y+3/y+y>x+2xy+y.即证3xy+3xy>2xy.*.*^>0,y>0,/.x/>0.即证3x+3y>2^y.V3/+3y>/+y^2xy.3,+3y>2^y成立.［方法・规律•小结］f(1)当所证不等

12、式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径.(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆.題就集辄％2.求证：书+甫<2昭证明：分析法：•••心+羽>0,2诵>0,・•・要证y［i+yf7<2y［5.・・・只需证明：(73+^7)2<(2^5)2.展开得：10+2回〈20.即证2回〈10,即证21<25(显然成立).•冷+寸<2书.3.&,Z?UR+,且2c>臼+方.求证：c—yjc—aKa

13、

14、a—c0,且a+Z?=l,求证：V臼+1+、/力+1W&・［思路点拨］所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明.［证明］要证：苗所+｛用只需证(p日+1+yjb+c)$W6,即证(臼+b)+2+ab--a+Z?+1W6.3由<3+b=1得只需证幺/?+2《,由

15、臼〈方，Z