类比推理在数学教学中的应用

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1、类比推理在数学教学中的应用木渎第二高级中学赵微当前，中学教学中十分重视培养学生的创新能力。如何通过数学知识的学习，来培养学生的创新意识，发展学生的创造个性呢？现在的教学过程是师生共同探索新知识的学习过程，是师生围绕着解决问题相互合作和交流的过程。在这过程中，学生在已有知识和经验的基础上，通过自己的独立观察和感知，运用比较分析、综合、抽象和概括、归纳、联想、演绎等逻辑思维方法，在解决教师提出的探究性问题过程中，发现新的知识和方法，使学生领会新知识的产生过程，从中培养和发展学生的思维能力。虽然，我们发现数学研究活动中充满着猜想和错误。大科学家牛顿曾经说过：“没有大胆的猜想就做不

2、出伟大的发现。”著名数学教育家波利亚在《数学与猜想》中指出：“数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面。以最后确定的形式出现在定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样。在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明思路。你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比。你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。”波利亚认为，严格地说，除数学和论证逻辑外，所有的知识都是由一些猜想所构成的，人们借论证推理来

3、肯定数学知识，而借合情推理来为猜想提供依据。因此，说的直截了当一点，合情推理就是猜想，并且波利亚还提出：“在数学教学中必须有猜想的地位。”波利亚的合情推理模式有着丰富的内容，有归纳、类比、观察、特殊化、一般化等方法，这些方法在数学探究活动中有着广泛的应用。下面将结合一些例子，着重对合情推理中的类比在数学教学中的应用进行阐述。类比推理是根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，从而猜测它们在其他方面也可能相似或相同的一种猜想。在中学数学教学中，用类比猜想，可由两个命题中条件的相似，去猜想结论的的相似；也可由两个命题条件结论的相似，去猜想推理方法的相似；还可由两个概念的相似

4、，去猜想解题思路的相似。利用类比来启发学生进行思维活动，就是启发学生把要研究的新问题和与之类似的原有知识、方法进行比较，使学生通过联想，获得解决问题的思路和方法，或建立新的数学结构。我们知道数学教学一般可分为概念教学，命题教学与解题教学，下面就来谈一谈类比推理在这三个教学探究活动中的应用。1类比推理在概念教学中的应用数学概念是整个数学知识结构的基础。数学概念的教学是进行能力训练，实施素质教育的重要渠道。在引入新概念的教学中，首先就要使学生“感知”新材料，为了把能力训练和素质教育有意识地融入课堂教学中，教师必须根据教学内容精心设计这种感知的过程，因为这种“感知”过程也正好是对

5、学生能力的一种有益训练。4例如，在学习等比数列概念时，教师可明确地告诉学生等比数列与等差数列有着紧密的联系，同学们完全可以根据已学过的等差数列来研究等比数列。接着提出下列问题：①什么样的数列是等差数列？②你能由此类比猜想什么是等比数列吗？③请举出一两个例子，试说出等比数列的定义。这样的概念引入过程，学生参与程度很强，在几乎没有任何揭示情况下，让学生自己动脑、动手去研究。这种方法不仅在于训练和培养学生的类比思想，也可以进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。再如，在研究抛物线的切线概念时，可以提出下列问题：①什么叫圆的切线？什么叫圆的割线？②能否像定义圆的切线那样给出抛物线切

6、线的定义？③过圆上一点的切线是由过这点的圆的割线怎样形成的？师生通过复习、观察、类比，从而给出抛物线切线的定义。这样通过新旧概念的类比联系进行教学，不仅能做到通俗易懂、降低学生理解抛物线概念的难度，而且强化了学生观察类比的能力。由于初等教学内容具有加强的系统性，前后知识衔接紧密，所以由旧知识类比导入新课在中学教学中最为常见，类比导入新课是培养学生推理的重要手段，由此导入新课必然会使学生从中运用类比的思维方法去猜想和发现新问题及解决问题的能力，从而使能力的训练和素质的培养真正落到实处。2类比推理在命题教学中的应用从数学问题的发现或提出新命题的过程来看，一般是从具体问题或素材出

7、发，经过类比—联想或观察、实验、归纳等两条不同的途径，形成命题或加以确认。因此在命题教学中常常运用类比推理，抓住其发生过程、内涵、结构、性质等方面的相似性来研究问题。在学习立体几何时，我们可以通过平面与空间的类比，引导学生猜想出许多空间图形的性质。例如，由平面内直线，可类比出空间内的平面；与平面四边形类比可推出平行六面体的不少类似性质；球与圆类比可推出两球相切等球的有关性质；“面面垂直”与“线线垂直”、四面体与三角形均有较多的类似性质等，都是类比的思想方法获得运用的体现与展示。特别，近几年的数学高考试题加强了对理性